CHAPITRE I. — UÉNÉRALITÉS; DIFFÉRENTIELLES. 3l
puis
37. Remarque. — Soit z = '^{u, v), ii et v étant eux-mêmes des fonctions de a: et y^ on a Irouvé pour dz (n^ 33), en regardant j: et j^ comme les variables indépendantes,
, âo , do .
dz = -:r- au -^ av.
au Ov
Or c'est précisément le résultat qu'on aurait obtenu de suite on cherchant la valeur de dz dans l'hypothèse où les variables indépendantes seraient u et v.
Par suite, la différentielle totale de z garde la même valeur quand on change de variables indépendantes, pourvu, bien entendu, que les valeurs principales des accroissements des variables anciennes et nouvelles soient correspondantes, c'eslà-dit-e liées par
, t)u , <)u , , âv . f)v .
au = — ax -\ ay, dv = -— dx -f- -— dv.
< ôx Oy -^ dx ôy *^
38, Théorème. — Si Von a obtenu, d'une manière quelconque y Vexpressionde ladifférentielle totale d^ une fonction z^ de deux variables indépendantes x et y^ sous la forme
dz = ^{x,y)dx-\-(i{x,y)dy,
on a nécessairement
ox oy
En effet, d'après l'expression (9) de dz^ on a
dz = - - dx H — '*- dy zJ Pdx -h Q dy. dx Oy ^ ^ -^
Cette égalité doit avoir lieu entre les deux derniers membres pour tous les systèmes de valeurs infiniment petites de dx et dy; car, d'après l'hypothèse, x et y, et par suite leurs accroissements, sont indépendants l'un de l'autre. En particulier, faisant dy z= o
et divisant par dx, il reste —^ = P, de même -7- = Q- *^ dx ^ dy ^
39. Théorème. — Si deux fonctions z et u de deux {ou plusieurs) mêmes variables indépendantes ont même différentielle totale, elles ne diffèrent que d^ une constante.
Car la relation
dz = du
ou
()z , dz . Ou , du ,
-— dx -\- - dy = — dx -{- —- dy ôx Oy '^ Ox dy
enlraÎDe
ôz du dz du
dx dx dy dy
La première équation exprime que la dérivée par rapport à x de la fonction z — u est nulle; cette fonction est donc une constante par rapport à x; de même, en vertu de la seconde équation, c'est une constante par rapport à y] c'est donc une constante absolue. c. q. f. d.
40. Utilité des différentielles totales. — Supposons qu'on ait un système de m équations entre m -\- n quantités, qui ne sont d'ailleurs liées par aucune autre relation; par exemple m =-. 3,
(lo) j z(a^,r,-, /, in = 0,
Gomme il y a cinq quantités et trois équations, deux de ces quantités, x et y^ par exemple, pourront être regardées comme variables indépendantes; les trois autres seront des fonctions de celles-là.
Dérivons nos équations, comme on a toujours le droit de le faire, /?ar rapport aux variables indépendantes x ety^ il vient :
d^ dz d'o dl d^ du
dz dx dt dx du dx '
(il) \ do do dz
dz dy
soit en tout six équations où figurent les six dérivées par-
... dz dz dt dt du du dx dy' dx dy' dx dy
