Exemple. — Courbe dont la courbure est constante

On a

as a

d'où

ds = a d^y

ce qui donne immédiatement, d'après (9),

d!a? = acos6 c?0, c(^ = asin8rf0. Par suite,

ar = /acos6cf6= asinÔ,

y = I a sinO^^O = — acosO.

La courbe cherchée a donc pour équation cartésienne

C'est un cercle de rayon a. Le cercle est donc la seule courbe plane de courbure constante.

Applications,