Ellipse. — L'ellipse étant définie paramétriqucment par

X — a cost,

y = 6sin<, on a

a:'= — asin^, x" = — azo%t^ y— bcosty ^ = — osmty

d'où

(a>sin«f-f- ft«cos*0*

Si N est la normale limitée à son pied, d'une part, et à Ox d'autre part, on voit aisément que

Pour le centre de courbure, on a

, a^sin*/ -f- 6*cos*< c-

a = acos/ — ocost ; = — cos'i,

ao a

,, , . . a'sin*^-t- 6' cos'f c* . .

p = 6 sin < — a sint r = — -r sin' <,

d'où Téquation de la développée :

382. Cycloïde. — Les relations paramétriques de définition (no288)

X ^ a( t — sin /), jr = a(i — cost)

donnent, par un calcul facile,

R — '2i/-2rt(i — ces/)- = 4« sin •

Le rayon de courbure en P est donc égal à 2MP {/ig. 74 et 91); on vérifie d'ailleurs aisément que la normale en P à la cycloïde

passe par M, c'est-à-diro est la droite PM; le centre de courbure est donc le symétrique de P par rapport au point M. On trouve, pour le centre de courbure,

a — ai t -- sin/ j, 3 — — a{\ — ces/).

Kig. 9-2.