CHAPITRE m

COURBES GAUCHES

384. Osculation. — Une surface, appartenant à une famille dont l'équation contient n -f- i paramètres, pourra avoir en un point donné, avec une courbe gauche, un contact d'ordre /?, puisque les conditions du contact d'ordre A*, entre une courbe et une surface, sont au nombre de A* -h i (n° 349). Elle sera dite osculatrice à la courbe au point considéré.

De même, si une courbe gauche appartient à une famille dépendant de 2(/? -h i) paramètres, elle pourra avoir, en un point donné, avec une courbe gauche donnée, un contact d'ordre /i, puisque (n" 330) les conditions du contact d'ordre k entre deux courbes gauches sont au nombre de 2(A*-f-i). On dira encore, en ce cas, qu'il y a osculation au point considéré.

F^ar exemple, un plan, dépendant de trois paramètres, pourra avoir, en un point donné, avec une courbe gauche, un contact du second ordre : ce sera le plan osculateur. Un cercle, dépendant de six paramètres, pourra aussi avoir, en un point donné, un contact du second ordre, et ce sera le cercle osculateur.

383. Tangente. — C'est la droite osculatrice en un point. Considérons la courbe

la droite

aura avec elle, au point t, un contact du premier ordre, si l'on a(n«330)

x(t) = az(f)-^p, y (0 = ^^(^) -^ 7> x' = (tz, y' = bz\

d'où Ton tire les valeurs de a, 6, /?, q. La droite est alors

A, ^^= — ; Là — {— X - , Zy 1 = • * • )

Bgo TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

ce qui s'écrit

X— ^ - Xr"-Z ^-^