CHAPITRE III. — COURBES GAUCHES. SqI

aux divers points d'une courbe gauche dépendent d'wn paramètre t'y leur enveloppe est donc une surface développable A.

Je dis que les caractéristiques de A sont les tangentes de la courbe gauche proposée et que l'arête de rebroussement de A est cette courbe elle-même : il suffit d'établir la seconde partie, car on sait que les caractéristiques sont des droites, tangentes à Tarête de rebroussement (n** 361).

Le plan osculateur étant

l'arête de rebroussement s'obtient (u® 338) en éliminant t entre cette équation et les équations f[ =. o, // = o. Or

(8) /'(0 = A'(X— ;r) hB'(Y-JK)-^C'(Z-5) = o, car A:c'-f- ^y' -\- Gs' est nul d'après (3);

(9) /'(0=A'(X-x)-4-B'(Y-j)H-C'(Z-;:) = o, car A'x'-j-B^y-f- C'^'=^ o : en elfet, de l'identité (3),

on déduit, en dérivant,

(Aar'-f- Bj'-f- Cz") -h (A'^r'H- B'/'h- C'z') == o,

et, la première parenthèse étant nulle d'après (4), la seconde l'est aussi.

Alors les trois équations (7), (8), (9). qui définissent un point X, Y, Z de l'arête, en fonction du paramètre ^, sont linéaires et homogènes en X — x, Y — >% Z — z\ on a donc

ce qui prouve bien que l'arête de rebroussement coïncide avec la courbe proposée ( ' ).

(') Ce raisonnement suppose que le déterminant des trois équations (7), (8) et (9) n'est pas nul identiquement. Admettons, pour simplifier, que la variable indépendante soit Xy de sorte que t = x. Le déterminant des équations (7), (8) et (9) est alors