ABC

yz--z'y

puisque x' = if x" = x''= o. S'il est nul identiquement, on a, en ajoutant à la

392 TROISIEME PARTré. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

Donc enfin, comme on l'a établi géométriquement au n° 361, le lieu des tangentes d'une courbe gauche quelconque est une développable; celle-ci est ^'enveloppe des plans osculatenrs de la courbe.

Il en résuhe également que les plans osculateurs en deux poinls infiniment voisins, M et M', de la courbe, se coupent suivant une droite qui a pour limite la tangente en M, puisque celle-ci est la caractéristique.

Remarque. — Le cône qui a pour directrice une courbe gauche C et pour sommet un point quelconque P admet évidemment pour plans tangents d'inflexion les plans osculateurs à C issus de P. En transformant ce résultat par polaires réciproques (n° 361), et observant qu'à un plan tangent d'inflexion d'un cône répond un point de rebroussement sur la courbe plane corrélative du cône, on voit que :

La courbe commune à une développable et à un plan quelconque a un rebroussement en chaque point (V intersection du plan et de C arête de rebroussement de la développable.

De là le nom de cette aréle.

première colonne la seconde et la troisième, multipliées respectivement par j'

et 5',

t ar,

Donc, quel que soit ar,

et, en remontant aux primitives,

\o%y'' = \o%z'' -\-\o^a, c'est-à-dire y''=az\

Remontons encore deux fois aux primitives :

y'^az' -^b,

y — az -h bx ^ c,

d'où il résulte que la courbe est plane. Kn ce cas, tous les plans osculateurs se confondent avec le plan de la courbe, et il n'y a lieu de chercher ni leur enveloppe, ni l'arête de rebroussement de celle-ci.

La conclusion est que le théorème énoncé dans le texte ne s'applique qu'aux courbes gauches, et il n'a, d'ailleurs, de sens que pour les courbes gauches.