CHAPITRE III
COURBES GAUCHES
388. Cercle csculateur. — C'est celui qui a un contact du second ordre (n° 384) avec la courbe en i^n point donné /. Un cercle de l'espace peut êlre défi li par les équations
a, [3, Y est le centre du cercle, R son rayon : les six paramètres
sont a, j3, V, R et les rapports — , -.
Il y aura contact du second ordre avec la courbe au point x(t)^ y{t), z{t)^ d'argument /, si Ton a (n" 330)
(jr - a)«-^ (^ Q^î 4- (2 - Y)î = Rt, (t — OL) x' -- (y — ^) y -i- ( z — -() z' =^ o,
mx' ^- ^y -^ p z' = o,
mx
-+- ny -h pz =0;
ce sont là six équations qui déterminent les six inconnues a, ,3, y, R,
Les deux dernières équations (i 1) montrent que m, /?,/> sont proportionnels à A, B, C, et la première équation (11) s'écrit alors
A(a — x)-hB(P— j^)-hG(y — 5) :=(>,
c'est-à-dire que le centre a, j3, y du cercle est dans le plan osculateur au point x^y^ z. Il en résulte que le cercle lui-même est dans ce plan, car son plan contient évidemment la tangente à la courbe au point considéré, droite du plan osculaleur.
L'équation (12) et les deux dernières équations (10) déterminent a, j3, y, ou, mieux, x — a, y — j3, z — y; la première équation (10) donne ensuite R^. On a ainsi
__ ! x'^^y* ^- z'^ y z" ■ ix'*-^y^-h zi)(cy— nz) ,
''"■'*" A ïï G " A»-T-B*-+-G* '
3g4 TROISIEME PARTIE. — APPLICATIONS GEOMETRIQUES.
on obtient, par permutation tournante, y — p, 5 — v. EnGn c'est-à-dire, puisque, d'après (3), A x'-h B^'-f- C-s' est nul,
389. Surface polaire. — La seconde équation (10), où a, p, y sont les coordonnées courantes, est celle du plan normal à la courbe au point t; la troisième équation (10) a pour premier membre la dérivée, par rapport à /, du premier membre de la précédente : ces deux équations représentent donc la droite caractéristique de l'enveloppe des plans normaux. Cette droite, dont les équations sont ainsi
(X — X) 37'-+- ( Y — j^) j'-+- (Z - ;;) s'= (y«-+- y«-+- iî'V),
est dite axe du plan osculateur ou axe de courbure; elle est perpendiculaire au plan osculateur, car ses paramètres directeurs sont^'^c'' — z' y" , . . ., c'est-à-dire A, B, C. Ainsi :
Le centre du cercle osculateur {ou centre de courbure) est à V intersection du plan osculateur et de Vaxe de courbure.
L'axe de courbure se nomme aussi droite polaire; le lieu des axes de courbure, c'est-à-dire la développable enveloppe des plans normaux, se nomme la surface polaire de la courbe gauche proposée.
390. Remarque. — Doux courbes gauches qui ont entre elles un .contact du second ordre en un point ont même cercle osculateur
en ce point. Cela résulte immédiatement du corollaire du n" 351.
391. Sphère osculatrice. — C'est celle qui a un contact du troisième ordre avec la courbe en un point donné t.
CIIAPITBE III. — COURBES GAUCHES. SgS
La sphère
aura un contact du troisième ordre avec la courbe au point /, si Ton a (n« 349):
(12) (:r- — a)2-|-(jK.-p)»-f.(-5 — y)»— R«=0,
(i3) ix -- oL)x' H- {y — p) y^ {z - -{) z' = o.
(i5) (ar — a)ar'"-4-(7 — P)y-f-(-5 — Y)z'"-h ^ix'x" -^ f y" -r- z' z") ^- o.
Les trois dernières équations donnent linéairement a, j3, y, coordonnées du centre de la sphère; la première donne ensuite le rayon R.
Nous n'expliciterons pas ces calculs; il est préférable d'interpréter géométriquement les relations précédentes.
L'équation (i3), où a, jî, y sont les coordonnées courantes, est celle du plan normal à la courbe au point t; les équations (i 4) et(i5)ont respectivement pour premiers membres les dérivées première et seconde, par rapporta ^, du premier membre de (i3); le point a, p, y défini par ces trois équations est donc le point où le plan normal touche Tarête de rebroussemenl de son enveloppe (n® 358). En d'autres termes :
Le lieu des centres des sphères osculatriccs coïncide avec l'arête de rebrousse ment de la surface polaire.
