CHAPITRE I. — généralités; DIFFÉRENTIELLES
Le système (ii) peut être remplacé, si l'on emploie les dilTérentielles totales, par un système équivalent formé de trois équations seulement; et, en outre, avec le double et important avantage qu^on n^est pas obligé de choisir, dès le début, les variables indépendantes, ni de sHriquiéter de leur nombre,
Différentions, en effet, les équations (lo); il est inutile, pour cela, de fixer les variables indépendantes, puisque le résultat de la différentiation garde toujours la même forme (n°35). On a ainsi :
do . ù<ù , fH j do j^ do j
—■ dx -k- -~~ dy -\- -~ dz -\- -r^ dt -^ -^ du = o,
f)x ôy -^ Os ôt du
^12) { '--J^dx-^ = o,
-^dx -h = 0.
dx
Le système (12) est d'ailleurs équivalent au système (11) : Supposons, en effet, que les variables indépendantes soient a: cl y et faisons dy = o dans la première équation (12) : dzy dt, du sont alors les valeurs principales des accroissements de z^ l, u quand x augmente de rfx, y restant constant; leurs quotients par dx sont donc les dérivées de z, /, u par rapport à x. L'équation considérée devient ainsi, après division par dx,
do do dz do dt do du
dx dz Ox dt dx du dx *
c'est-à-dire la première des équations (1 1). De même, en faisant, dans la première équation (12), dx = o, on trouverait la seconde équation (i i), et ainsi de suite. Le système (i 2) contient donc le système (11). Il est clair, inversement, que de (11) on peut déduire (12); par exemple en multipliant la première équation (i i) par dx, la seconde par dy^ et ajoutant, on trouve la première relation (12).
D'ailleurs le système (i'a) est généralement plus utile que le système (11), principalement en Géométrie, en Physique et en Mécanique où l'on a surtout besoin des relations qui lient les différentielle (ou les accroissements) des quantités variables considérées dans un problème.
41. Différentielle seconde. — Comparons les différentielles dz H. 3
et dz^ d'une fonction z = /(^^y)^ pour deux systèmes de valeurs x^y et Xi^yt des variables :
Pour que la comparaison ait un sens, il faut que les infiniment petits dxi et û(^i, qui sont arbitraires, soient liés à dx et dy; on fera les hypothèses
dxi = dxy dyi = dy.
Il vient alors
(i3) dZi-dz = [fj,{x,,y^)-f'Aor,y)]dx-^[fy{x,,x,)-f'y{.v,y)\dy.
Faisons tendre Xi ety\ vers x et y, en posant
xi = x-^Zx, yi=y-i-oyy
et cherchons la valeur principale du second membre. La valeur principale de /;( j:,,j^, )—/;.( :r, jk) est (n° 33)
ox/^^Xy y)-h ùy/;^y{Xy y)\ celle dc/^.{xi, yt) — /y{^^y) est de même
<^^/yx -^ <^y/yr ;
il vient ainsi, pour la valeur principale de (dzt — dz)j Texpression
/;, dx ^x -4-/;^ {dxoy-i- dy ox ) -+-/;, dy oi'.
On supposera maintenant (hypothèses non indispensables) que
ox = dXy oy = dy,
et Ton désignera par d^ z {différentielle seconde) l'expression précédente, c'est-à-dire la valeur principale de la quantité dz^ — dz, en représentant par dz la différentielle totale qui correspond aux valeurs x, y^ et aux accroissements dx^ dy^ des variables, et par dzy la différentielle qui correspond aux valeurs x -\- dx, y -{- dy^ et aux accroissements dx^ dy, des variables. Ainsi
d^ z = /;, dx^ -+- 2/;,. dx dy -+- /;, dy^ ;
ce que l'on écrit aussi, suivant les notations de Jacobi,
(i4 ) d^z = — - dx^ -+- 2 ^ — — dx dy -t- -— - dy^.
^ âx* dx Oy "^ ày^ "^
