CHAPITRE m. — COURBES GAUCHES

Expression de divers infiniment petits.

39i. Nous désignerons par :

p un point (.r, >', z) de la courbe gauche, d'argument t\

P le plan osculateur I

.„ , > en ce point;

I la tangente ) ^

/>! le point infiniment voisin de la courbe, correspondant à l'argument t -^^ dt^ et de coordonnées (x -h /ix,y -r- ly, 3 + Aj) ;

Pi le plan osculateur )

r^ , i en ce point.

I I la tangente )

La distance /?/?i = VAj;--|- Aj^--|- A:;- a pour valeur principale )/dx^ -r- djri -h dz^ = s/x'^-^y^-^z'-^dt = ds (élément d'arc).

395. Angle de T et de T,. — On sait que l'angle cp de deux directions (a, 6, c) et («i, 6|, C|) est donné par

• î (bcj — c6i)'-t- (cai — a^i)*-t- (a6| — bai)*

Or, pour la tangente T, a, 6, c sont j?', ^', w'; pour la tangente T,, a,, 6|, c, sont j:'-h A^',^'-f- A^', ^'-f- Aw' ; on a ainsi :

sin'o =

(yiz'— z'iy)*-h(z'\x'—x'iz ')i^(^x'ùiy—y\x')*

Les valeurs principales de Ax', A^', As' sont x"dt, y'dt, z"dt] la valeur principale de sin^'^, ou de ç^, est donc

Valeur pr,ncipaley»= (^^,^y«^y,^, ^^'= ^.^ yt^ ^'-.Y^d''^

et enfin

/A*-f- B'-h G' Valeur principale o = 7—7^ ^r ttt^'-

396. Courbure. — C'est, par définition, la limite du rapport de l'angle ©, de deux tangentes inGniment voisines, à l'arc ds compris

entre leurs points de contact. On a donc, pour la courbure Ar,

k = valeur principale -j- = y A -^ n -h C ^ '^ ^ as »

c'est-à-dire A-r=: — , R étant le rayon du cercle osculateur. Le

cercle osculateur, son centre et son rayon se nomment, à cause de cela, cercle, centre et rayon de courbure.

397. Angle de P et de Pi. — Les coefficients des plans P et P, sont respectivement A, B, C et A-+-AA, B -h AB, C-I-AC;

l'angle «i de ces plans est donc donné parla formule

sin^^ —

( B AC — C AB )^ -f- ( G A A — A AG )» H- ( A AB — B AA)» (A«-f-B« -^ G» ) [( A -h A A )» -+- . . . ]

Or, les valeurs principales de AA, AB, AC sont

dPL = \'dt = {fz'"- z'y") dt,

et il en vésulte aisément les formules

Valeur principale de B AG — G AB = Dx' dt, » » GAA- AAG = Dyé//,

.) D AAB — BAA = D5'^/,

D désignant le déterminant