CHAPITRE III. — COURBES GAUCHES. Sgcj

formule précédente,

Les points où la torsion est nulle se nomment points stationnaires; ils sont donnés par la relation D = o.

Remarque, — Pour une courbe plane, le plan osculateur coïncide toujours avec celui de la courbe; donc A = o, et, par suite, la torsion est nulle.

Réciproquement, si la torsion est constamment nulle (ou si tous les points sont stationnaires), c'est-à-dire si D = o, la courbe est plane. Car, en prenant x pour variable indépendante, c'est-à-dire en faisant j:'= i , ^'= y = o, la condition D = o se réduit àyy — :;"y'"= o, d'où l'on déduit, comme dans la note du n** 387, que la courbe est plane.

399. Distance o de/?i à T. — On trouve géométriquement, sans difficulté, sa valeur principale.

Soit ppi (trait plein) { fig- gS) la courbe proposée; figurons

Fig. 95.

(trait pointillé) le cercle qui la touche en p et qui passe par le point infiniment voisin /?|. Si IV est le rajon de ce cercle, on a rigoureusement, en menant /?| P normal à la tangente en /?,

(corde />/?,)^

P'^^ Tk'

A la limite, le cercle considéré devient (n** 355) le cercle osculateur en/?; IV devient R, rayon de courbure, et la valeur principale de covàe ppx est avcppi , ou ris. On a donc

Valeur principale 0 = —7- = - kds^, ^ ' '2 K •>.

C'est la môme formule que pour une courbe plane (n** 64).

L'Analyse conduirait, par une voie plus longue, au même résultat.