Distance d de pi èiP. — Elle est donnée parla formule

v/Aî -h B« -+- C«

Remplaçons Ax, Aj', As par leurs développements tayloriens

^x = x'dt-^ - x'dt^-^-^x'^dt^-^

nous voyons qu'au numérateur les termes en dt et dt'^ disparaissent, à cause des relations

Ax''\-By-\-Cz'= \x'-^ By-i-Cz''=o;

il reste donc, pour la valeur principale de rf,

.... Ax'"-\-By'"'{-Cz'" dt^ Valeur principale a = — — — t-

y/At-f-B»-f-G* ^ p dt^ - k —

Elle est du troisième ordre en ds^ comme cela devait être, puisque le contiact de P et de la courbe est du second ordre.

Si le point /> est stationnaire, t est nul; la distance d est donc d'ordre quatre par rapport à ds, c'est-à-dire que le plan osculateur en /? a un contact d* ordre trois avec la courbe.

Ainsi, les points stationnaires sont ceux où le plan osculateur a avec la courbe un contact du troisième ordre.