CHAPITRE 111. — COURBES GAUCHES. 4oi

d'où, par dérivation,

\ x'x'"-hyy"-hz'z'^-i-x'*-^yi-hz''i = ().

On a alors, pour la courbure,

k = /\*^Bî+C^= ^i^yz'-z'y)*-^..,,

= s/ix'^-^-y-'-h z'* ) (a:'«-hy «-+- z'^ ) — {x'x'-^yy-^ z' z' Y ,

c'est-à-dire, en tenant compte de (i),

(2) k = v/j^'i-hy^-t-i"».

Cela pos^, évaluons la différence entre l'arc A5, ou ds (n° 20), et la corde qui joint les points x^ y^ <3 et x + Ax, y 4- Aj>^, 5 -f- A3 ; c'est-à-dire la différence

Or, on a

b^T — X ds -\- X ha:"— — h . . . ,

Ac = -5' c/f-h. . .,

d'où

et, en tenant compte de (1) et (2),

La différence à évaluer est donc

ds-dsU ^ \k^ds^^,., = ds\ i— ('i — -1- A»t/5« -+-... V L

ou, par la formule du binôme,

dsl\ — \-\ 7 A* é/5* -+- . . . j .

La valeur principale de la différence entre l'arc et la corde est H. 26

ainsi

a4 elle est du troisième ordre par rapport à l'arc.

402. Remarque. — Nous avons supposé jusqu'ici que x, ^, s, sur la courbe gauche, sont exprimés en fonction d'un paramètre ^; si la courbe est donnée sous la forme

on supposera t = x; d'où a;' = i , j/'= o. Quant à y, z\ y^ et 5^, ce seront les dérivées première et seconde de ^ et ^ par rapport à:r; on les calculera en dérivant les équations de la courbe par rapport à x. Ainsi, Ton aura d'abord

d'où j^ et z linéairement; dérivons encore une fois :

^X^-^ -^yS^ry-^ = O,

d'où l'on tirera linéairement y et -s", puisque y et 5' sont déjà connus, etc.

Il suffira alors de porter ces valeurs de a;', od' ^ "^^y^y^ •••, 5', z", ... dans les formules générales, pour obtenir la tangente, le plan osculateur, la courbure, etc., de la courbe gauche proposée.

403. Formules de Frenet. — Cherchons les diflférentielles des cosinus directeurs ao, Po? Yo de la tangente en un point d'une courbe gauche (n® 393). On trouve aisément :

d%^=d-- — = ^ r t/^ = k%xds,

«1» ?i> Yi étant les cosinus directeurs de la normale principale (n«393). Ainsi

(3) daQ=:ky.xds, d1^o= k^ids, d-(o= k^ids.