CHAPITRE III. — COURBES GAUCHES. 4o

De même, pour les cosinus directeurs a2, p2> Ya de la bînormale, on trouve, par un calcul facile,

aa,= d j- = '^ 3 D^^ = — Ta,é/5.

Ainsi :

Enfin, pour obtenir rfa,, rf[î,, rfy,, difTérentions les relations

ajao-f- Pipo-+-YiTo=o, aiaî+PiPî-+-YiTî = o»

dont les deux dernières expriment que la normale principale est perpendiculaire à la tangente et à la binormale; il vient, en utilisant (3) et (4),

«1 doLi H- pi </Pi -f- Yi ^Y» = ®» aLodai-\-^od^i-h Yo d^{\ -^ k ds = o,

d'où l'on tire aisément

\ dai=(—koio'h'Z(Zt)ds, d^i = (— k^o-+-'?i)^^^ ( V ) <

/ ^Yi = (— ^'Yo^-'YO^^-

Les formules (3), (4) et (5) sont les formules de Frenet.

Lieu des centres de courbure. Développées.

404. Lieu des centres des cercles oscolateurs. — Soient O et S {fig' 96) les centres du cercle osculaleur et de la sphère osculatrice en un point M d'une courbe gauche (C); OS est l'axe du plan osculaleur. Le lieu de O, qm est une courbe, est donc tracé sur la surface lieu de OS, c'est-à-dire sur la surface polaire (D), enveloppe des plans normaux à (C).

Cherchons la tangente au lieu de O; désignons par O' et S' les points analogues à O et S qui répondent au point M' infiniment voisin de M sur (C); par 6 et X les angles O'OS et OSM : la

4o4 TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

direction 00' est dans le plan OSM, qui est le plan, tangent à la développable (D) le long de OS.

Appliquons la formule de variation de longueur (n® 80) aux segments OS, OM, SM; il vient, en observant que OS touche

Fig. 96.

en S le lieu du point S, c'est-à-dire l'arête de rebroussement de (D) (n" 392), et que OM et SM sont normaux en M à la courbe (C), puisque OSM est le plan normal en M,

dOS =SS'--00'cose, dOM= 00' sine,

dSM = SS'cosX.

D'ailleurs, en différentiant la relation

SM =0S -4-OM , SM rfSM = OS dOS H- OM rfOM,

c'est-à-dire

SM.SS'cosX = OS.SS'-h 00'[— OS cosO -4- OM sinO] ;

comme il reste c'est-à-dire

OS = SM cosX,

OScosô = OM sinO,

tangO=^

ce qui est égal à cotX.