CHAPITRE III. — COURBES GAUCHES. 4o

Donc 0 = \ c'est-à-dire que la tangente 00' au Heu de O,

située dans le plan OSM, est normale à la droite joignant le point O au milieu du segment SM , ce qu'on aurait pu établir plus directement sans grande difficulté.

Corollaire I, — Le lieu du point O n'est pas une développée comme dans le cas des courbes planes, c'est-à-dire que la tangente en O à ce lieu ne coïncide pas constamment avec la droite OM. Pour qu'il en fût constamment ainsi il faudrait

que 6 = -I d'où )w = o, c'est-à-dire que le point S fût à l'infini.

La sphère osculatrice se réduirait donc constamment au plan osculateur; celui-ci aurait, dès lors, un contact du troisième ordre avec la courbe; tous les points de celle-ci seraient, par suite, stationnaires, et la courbe serait plane (n** 398).

Corollaire //. — Pour que les centres, O et S, du cercle osculateur et de la sphère osculatrice coïncident, il faut que X soit égal

à -» d'où 8 ^ o, et la relation rfOM = 00' sinOmontre que rfOM

est nul, c'est-à-dire que le rajon de courbure est maximum ou minimum.

Inversement, si, en un point M, le rayon de courbure OM est

maximum ou minimum, OO'sinO est nul, d'où 9 = o, )^ = - , et les points S et O coïncident. Ainsi :

Les points d'une courbe gauche pour lesquels le centre du cercle osculateur coïncide avec le centre de la sphère osculatrice sont ceux qui correspondent au maxima et minima du rayon de courbure.

Corollaire IIL — Pour que les deux centres O et S coïncident quel que soit le point M sur (C), il faut que ûf OM soit nul en tout point de C, c'est-à-dire OM = const., et réciproquement. Donc :

En tout point d'une courbe de courbure constante, les centres du cercle osculateur et de la sphère osculatrice coïncident; réciproquement, cette propriété n'appartient qu'aux courbes de courbure constante.

4o6 TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

405. Rayon de la sphère osculatrice. — Imaginons menée la tangente en S' à la courbe SS' ^fig- 96); elle passe par 0', puisqu'elle est l'axe de courbure en M'. De plus, elle rencontre, au second ordre près, la tangente en S en un point T, qui a pour limite le point S (n** 386), et son angle avec cette tangente est l'angle A des plans osculateurs à (C) en M et M'. On a trouvé plus haut ûfOM = OO'sinO; or. le triangle OTO' donne

00'sine = TO'sin^, d'où, à la limite, en remplaçant TO' par SO et sin<{/ par <J^, ou? rfs,

é/OM = OS T ds, c'est-à-dire OS = = — •

'z as

La relation SM = OS H- OM donne alors, en posant SM = Q et OM = R rayon de courbure de (C) en M,

expression remarquable du rayon p de la sphère osculatrice en M. Les corollaires II et III ci-dessus se déduiraient immédiatement de cette formule.

406. Développées d'une courbe gauche. — On nomme normale à une courbe gauche (C), en un point M, toute droite passant par M et perpendiculaire à la tangente en ce point; e/eVeloppée de (C), toute courbe dont les tangentes sont normales

Soient P un point d'une développée, PM la tangente en P, normale en M à la courbe (C); désignons parMN la normale principale à (C) en M, par Q la projection de P sur MN.

Les cosinus directeurs de la droite MN sont ai. Pi? Yi ; ceux de PQ sont évidemment les cosinus directeurs, a2, ^2» Y2> àe l'axe de courbure en M. Posons MQ = p, et désignons par co l'angle PMQ, de sorte que QP = p tangco. Si x^y^ z sont les coordonnées de M exprimées en fonction d'un paramètre ^, et Ç, yj, J^ celles de P, on aura, en projetant sur les trois axes le contour MQP,

I 5 = a: -f- pai -+- paj tangw, (G) < >) =^-^p?i -f-pPî tango),

( C = 5 -4- pYi H- PYî tango).