CHAPITRE III. — COURBES GAUCHES

Pour que le lieu du point Ç, yj, J^ soit une développée il faut que la tangente en P soit la droite PM, donc que rfÇ, ûfr^, d^ soient proportionnels à $ — Xy r^ — y, Ç — z. Ainsi, on aura

Soit e la valeur commune de ces rapports; la relation

devient, si Ton y remplace Ç et rf$ par leurs valeurs tirées de (6),

\ dx -h pdoLi-h ^iangtjj d<Xi

/ -H oLidp -h OLid(p tang(o) = e(paj-+- paj tangco).

Or dx = x'dt, et comme on a posé (n® 393)

on voit que dx est égal à aods; dxi et <ia2 sont donnés par les formules de Frenet (4) et (5), de sorte que la relation (8) s'écrit :

0LQds(i — A'p) -+- ai(dp — ep — px langcu ds)

■+■ aj[rf(ptangw) — ep tangco -f- pz ds] = o.

De même les deux équations dr\=it('/\ — y)^ rfÇ = e(s — s) conduisent à deux relations qui se déduisent de la précédente par le changement des a en ^, puis en y : on obtient donc trois équations, linéaires et homogènes par rapport aux quantités

ds{i — kp)f dp — zp — pztangoi dSj û?(planga)) — ep tango) -f- px rff,

et comme le déterminant du système est différent de zéro, puisque c'est celui des neuf cosinus, égal à i, les trois quantités ci-dessus sont nulles. On a donc

A:p = i, dp — pT tangoirf^ = ep, ^(p langw) -4- px e/s = ep langw;

d'où, en éliminant e et observant que t = R rayon de courbure de (C) en M,

(g) p = R, do} =— zds.

La relation p = R montre que le point Q, qui a pour coordonnées x + poLi, . .., c'est-à-dire, en remplaçant R et ai parleurs

4o8 TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

valeurs,

coïncide avec le centre du cercle osculateur à (C) au point M (n** 388); le point P est donc sur l'axe de courbure en M, c'està-dire sur la surface polaire de (C). Donc :

Les développées d^une courbe sont sur la surface polaire de celle-ci.

La seconde relation (9 ), rfto ^ — t ds^ donne

(10) to

tOo désignant une constante arbitraire et / l'argument de M sur la courbe (C).

Il suffit, maintenant, de porter dans (6) cette valeur de co, ainsi que les valeurs connues (n** 393) de ai, a.^, pi, P2> Yu Ya? et

d'y remplacer p par R, ou (x'«-j-y2 4- 5'2)^:(A2-|- B^-j- C>)% pour obtenir les coordonnées Ç, r^, Ç d'un point d'une développée en fonction du paramètre / : ces formules renfermant la constante arbitraire (Oo, il y a une inûuité simple de développées.

Remarques, — i** Deux valeurs (10) de o>, répondant à deux valeurs diflerenlcs de coq, ont une différence constante tout le long de (C); donc :

Les deux normales en un point variable d'une courbe, qui touchent deux développées fixes de celle-ci, se coupent sous un angle constant.

2° Pour une courbe plane, 1 est nul et o), donné par (10), se réduit a tOo. Soit ^ =: o le plan de la courbe; désignons par Çq et Yjo les coordonnées du centre de courbure Q au point M {x,yy o), par R le rayon de courbure de la proposée en M ; les formules (6) deviennent, puisque aj = p2 = Yi = o, et ya = ' ,

a étant une constante arbitraire. On obtient donc les développées en prenant, sur chaque normale au plan de la courbe issue d'un