CHAPITRE

COURBES GAUCHES

centre de courbure, une longueur proportionnelle au rayon de courbure correspondant.

La développée ordinaire correspond à a = o; les autres développées sont sur le cylindre droit qui contient celle-là, et qui est, d^ailleurs, la surface polaire de la courbe plane proposée.

407. Exemples. — Appliquons les formules générales à quelques courbes.

1° Hélice. — On nomme hélice la courbe tracée sur un cylindre quelconque, et décrite par un point M qui se meut de manière que sa distance M/??, à une section droite, soit proportionnelle à Tare de section droite A/72, comptée à partir d'une origine quelconque A.

Prenons pour plan des xy celui de la section droite; soient

^fACjc,t/,x.J

Xy y, z les coordonnées de M {/ig. 97), et t l'arc AM. On a,

par hypothèse,

z = ai.

D'ailleurs x eiy, coordonnées du point m de la section droite, sont des fonctions connues de l'arc o-, en sorte qu'on a, pour définir l'hélice.

Observons, de plus, que, o* étant l'arc de la courbe plane ^ = ?(^)» JK = ^(^), on a

4 10 TROISIEME PARTIE. — APPUCVTIONS GEOMETRIQUES.

c'est-à-dire

cp'«(cr)+4;'î(cr) = i,

ce qu'on peiil écrire

Tangente, — Ses paramètres directeurs sont x\ y ^ a ; étant toujours posé

son angle 8 avec O^ est défini par

cosO =

il est donc constant, c'est-à-dire que l'hélice coupe les génératrices du cylindre sous un angle constant.

Inversement, une courbe tracée sur un cylindre et qui coupe les génératrices sous un angle constant est une hélice. En effet, toute courbe tracée sur le cylindre peut être définie par

T étant toujours l'arc de section droite entre le point A et le point m, projection du point x^ y^ z\ si elle coupe les génératrices sous un angle constant Qq; on a

cose.= ^^'("^

d'où, puisque cp'2 4- A'2= i,

'' ^ ' sin6y ^-^ sinOo

h étant une constante arbitraire. La courbe est donc une hélice pour laquelle a= . ' °> l'arc de section droite étant compté à partir d'un point fixeB, tel que arcAB=: h.

Plan osculateiir. — Calculons ses coefficients A, B, C :