CHAPITRE III. — COURBES GAUCHES

^ et y désignant ^"(3") et ^''(o"). Le pian osculateur est donc

— ay{X —x)-h aaf{ Y —y) -h (^r'^— y a:*) {Z — z) = o.

Il est normal au c^^lindre au point M; car la normale en M au cylindre, parallèle à la normale en m à la section droite, a pour paramètres directeurs j^, — x', o; la condition du parallélisme de cette droite et du plan osculateur est

— ^y" y — aa7*jr' = o, ou x' x" ->ry' y =^o, ce qui est vérifié, puisque

^''-+-y=i, d'où x'x''-^yy=o.

Courbure, — On a

Oi

{x'^-\-y^-hz'^)^

c={x'y^yx'')=y/{x'^^y'^){x''^-^y^)-{x'af-^yy)^ = ^xrt^y^^

et, par suite,

Donc

A»-i-B*-+-C«=(a:'*-hy«)(i-ha>).

k = Jx'^-\- y"* — = 4— •

D'ailleurs, la courbure A*| de la section droite en m s'obtient en faisant dans cette formule a = o; donc

d'où un théorème facile à énoncer.

Torsion, — On a

X' y af y

otf y

Or

A«4-B«-4-C* i-ha» 07*»-+- y*

4l2 TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GEOMETRIQUES.

et, en verlu de ridentité x'af -\'y'y=i o,

de sorte que

iH- a» I -H a» '^ -^

c'est-à-dire

T = aA'.

La courbure et la torsion en un même point sont donc dans un rapport constant.

Arc, — La différentielle ds de Tare d'hélice est donnée par la formule

d'où

5 = ay^i -h a*.

L'arc compris entre deux points de l'hélice est donc proportionnel à sa projection sur la section droite; ce fait était évident, a priori, en raison de la propriété de la tangente.

2® Hélice circulaire. — C'est une hélice quelconque tracée sur un cylindre de révolution. La section droite est un cercle de

Fig. 98.

rayon R, et Ton a, en supposant que le point A {fig> 98) soit surOj:,

x=Rcos(|), ^=Rsin(-j)

;; = ad,