LONGUEURS ET AIRES SUR LES SURFACES

408. Plan tangent. — Soit une surface représentée paramétriquement par les équations

x = x{u,v), y=y(u,v), z = z(UyV);

le plan tangent au point (u^ ç) est celui qui a un contact du premier ordre avec la surface en ce point. Si le plan est

AX-f-BY^CZ-+-D=:o,

les conditions du contact du premier ordre sont (n? 352)

Ax{Uj v)-\- B/(m, v)-h Cz(u, ç)-h D = o,

dx du

dv dv dv

ày

d*où Ton déduit les valeurs proportionnelles de A, B, C, D; l'équation du plan tangent est alors, en éliminant d'abord D, puis

dx dy dz

du du du

dx d^

ày dv

dû dv

Elle est la même, que les axes de coordonnées soient ou non rectangulaires. Nous l'écrirons

en posant

^ ^àz dz dy Ti ^ àz dx dx dz d.c dy dy dx

du dv du di' du dv du dv^ " ~ du dv Ou c/r '

Si la surface est donnée sous la forme z=/(x, y)^ on sup-