CHAPITRE IV. — LONGUEURS ET AIRES SUR LES SURFACES

posera w = x, ç^^y; d'où

dz A=— ^=— /?, B=--g, C=-M.

409. Distance d'un point d'une surface au plan tangent en un point infiniment voisin. — Soient u, v et u-^- du, s? -^^ ds^ les arguments sur une surface de deux points voisins, de coordonnées X, y^ z el X -^ Ax, y H- A^, 2 4- Az ; la distance du second point au plan tangent en [u, v) est

... ^ A Ajr H- B A7 -f- C Ai

Or on a (nM69)

dx , dx , I ià^x , . à^x j , â^x , \

Aa: = -T- au -+- -7-av -i — ( -r-s- du^ -+- 2 t — r- du dv ■+■ -r— dv^ -j- . . . ,

ou Ov 2 \ou* ouov dt'» /

Ajr =^ . . . ,

Az = . . . .

Portons ces valeurs dans l'expression de 8 : au numérateur les termes en du et dv disparaissent, car leurs coefficients

. ùr -.dy -, dz . dx

A ,- -+-B^ -hC-r- et A— -+-...

ou ou ou ou

sont nuls [équations (2)]; il reste alors pour la valeur principale de 8 :

f \ du* Ou* Ou*/ \ àuàv J V dt^î /

-^ ' /Aî-+-B«-+-C>

On voit que 8 est du second ordre, ce qu'on savait a priori, puisque le plan tangent a un contact du premier ordre avec la surface.

Nous poserons, pour abréger,

V dM» du* ôu'^J ^A>-hB«-+-G« V^ dudv dudv f''^ «'^ / /A* -h B* h- C*

V dv^ dv* dv* I /a«4-B»-+-G*

4l6 TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

d'où, en nous bornant à la valeur principale,

Dans certaines questions, on n'aura besoin que des valeurs proportionnelles de R, S, T :

du^ du^ âu^ dudç dv^

410. Il est à observer que si les axes de coordonnées sont obliqties, 5 est donnée par une formule analogue à (3), où le numérateur reste le même, le dénominateur seul ajant varié et demeurant indépendant de \x^ A^, Hz : il en résulte immédiatement que la valeur principale de 20 est toujours de la forme

R rfa«-+- 2S dudi>-hT dv^,

R, S, ï n'ayant plus tout à fait, à cause du dénominateur, la même expression que ci-dessus, mais leurs valeurs proportionnelles étant toujours

ou^ du av dv^

Élément d^arc sur une surface.

\{[, Une courbe tracée sur la surface (1) est définie par une relation entre u et v, ç = 'f(^uy La direction de sa tangente au

point w, \^ est déterminée par la valeur du rapport -7-> ou 9'(tt),

déduite de réquation de la courbe. En effet, en différentiant les relations (i) on a

ôx ôx

ce qui donne les valeurs proportionnelles de rfx, dy^ dz, c'està-dire les paramètres directeurs de la tangrente, en fonction de -r-- ^ " du

On peut donc dire qu'en un point (w, v) une direction tangente à la surface est définie parle rapport -j-» et réciproquement : cette