CHAPITRE I. — généralités; DIFFÉRENTIELLES

On voit qu'on obtient l'expression (i4) de d- z en différenliant le second membre de la relation

. dz , ôz ,

ôx Oy ^ '

et en traitant, dans ce calcul, les facteurs clx^ dy comme des constantes.

En effet, d'après le n" 33,

\0x] OOL

,(àz\ inz , ô^z ,

^ . dx ^ -r^- dy, Oxi ôx Oy '^

et Ton a bien

rf..=4g)^.-...(|)^^.

C'est ce que l'on résume en disant que d- z est la différentielle de dz^ lorsque l'on suppose les accroissements dw^ dy indépendants de X eiy.

D'après la définition, à cause des hypothèses dxx^= dx^ dyx = dy^ d^z n'est déterminé que si l'on fixe les variables indépendantes dont dépend z\ on devrait donc écrire rfj...5, pour préciser (voir plus bas, n° i3, Remarque i°).

Remarque. — Les différentielles secondes des variables indépendantes sont nulles; car, si :; = j*, on a,

c^i z f)« z âU

-- - = o, ~ — - =0 et — - = o,

OX* Ox Oy Oy*

d'où, par (i4)î d'-x = o,

i!2. Différentielle seconde d'une fonction composée. — Soit

une fonction des quantités w, v, (v, qui sont elles-mêmes fonctions des variables indépendantes x, y. On a (n" 3o)

dz = X du -{- B dç -+- C dwj en désignant par A, B, G les dérivées t"» t"' ^'

3fi l»HKMIKRK PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On peut écrire

\0x oy " I \0x Oy ^ ) \àx Oy " ,

On a ainsi rais dz sous la forme V dx -^^ Ç^dy] pour obtenir d^yZ, il faut, d'après la règle du numéro précédent, diflerentier le second membre, en traitant dans le calcul dx et dy comme des constantes. Il vient ainsi

dl, z —• d\ { -— dx -\- V- dy] -\- dïi { —- dx -\ dy\-^. . .

\ ()x ây - / \ dx Oy * /

— A ( -— - (ix^ -^ 'i dx dy -+- -— - dy^ -i- . . . ,

^ tix^ OxOy ^ f)y^ -^ /

c'est-à-dire

( 1 5 ) d%y z = d\du-\-\ d^y u h- r/B dv -+- H d^y v -\- dC dw h- C d*j,y w .

En d'autres termes, d'^ z s'obtient en différentiant l'expression Kdu -f- B dv -f- C dz^ de dz^ et en écrivant rf^//, d'-v^ d'-iv pour les différentielles de du^ dv^ div : c^est la même règle que poulies fonctions composées d^ une seule variable.

Cette régie comprend, comme cas particulier, celle du n" il pour le calcul de d- z^ lorsque z est une fonction donnée de x et )•, et d'après laquelle on doit différentier dz en regardant dx et dy comme des constantes, c'est-à-dire en écrivant o au lieu de d'-x eid'^y : ord-xet ^/-r sont effectivement nuls (Remarque du n"41).

On peut donner une autre forme à la formule (i5). On a

Ou Ov 0{\>

d\ = — - du -h - — — dv H aw,

Ou^ Ou Ov Ou Ow

ce qui donne, dans (iv5)

d^ z - — - du*- -i- — ^ dç^ -i- — ^ div^ Ou- w* Ow*

(ib) < -h i du dv -f- 1 du dw

' Ou Ov Ou Ow

dv dw -t- -— a*a-4--T-a2p-+- -7— a* cp,

0\' ow Ou Ov Ow