CHAPITRE IV. — LONGUEURS ET AIRES SUR LES SURFACES

direction est la limite de celle de la droite qui joint le point ;/, r au point u -h du^ v -t- dv.

En un même point deux directions correspondant à deux valeurs

différentes de --r- sont différentes, et ne peuvent coïncider que si ces valeurs coïncident : cela résulte de ce que, par les équations (4), les rapports -p et j- sont des quotients de fonctions

linéaires en -y •

du

412. Le carré de la distance de deux points infiniment voisins sur la surface, et d'arguments w, r et u -\- duj v-^dv^ est, en valeur principale,

ds'^ = dx^ -h dy^ -h dz^ = l-^ du -\- — dv\ 4- . . . ,

c'est-à-dire

(5) ds^-Edu'^-\-%¥dudv-^G rfp»,

étant posé

__ Ox dx ày dy ùz àz au ôv du dv du dv

«=(gy-(i)'-(ï)'

Cette valeur de ds^ est aussi la valeur principale du carré d'un arc de courbe infiniment petit quelconque, tracé sur la surface et allant du point e^, (^ au point u + du^ v -h dv.

413. Longueur d'un arc tracé sur la surface. — Soit, sur la surface, la courbe

la différentielle ds de son arc sera

ds = /K £/w^ -r- 2 F du dv-^G dv^-, où l'on remplace v par 'f (w), et di> par o'{u)du. Il vient ainsi une

4l8 TROISIEME PARTIE. — APPLICATIONS GEOMETRIQUES.

expression de la forme

ds = F(m) du y

d'où, pour Tare 5, l'expression

= f F{u)dii,

^ Ha

Uq et u étant les valeurs du paramètre u qui répondent aux deux extrémités de l'arc.

41i. Si la surface est donnée sous la forme

on n'aura qu'à supposer u =: x, v = j'; alors

et pour ds^^ en remplaçant -- et — par p et r/,

ds^ = {i -^ p^) dx^ -\' j.pq dx dy -f-(i -4- q^)dy^.

415. Remarques. — Les courbes tracées sur la surface (i), et qui

v^di*

sont définies par ;/ = const. ou r:=const., sont dites lignes coordonnées^ par analogie avec les courbes x = const. et ^= const. du plan. On désignera parcourue Uq la courbe u = u^'j on dira également courbe u pour la courbe le long de laquelle le premier paramètre a la valeur constante //.

Ceci posé, considérons sur la surface les courbes u et r, qui se croisent en M (Jig. 99); puis les courbes u -h du et i^ -f- dv, qui se croisent en P.