CHAPITRE V. — COURBURE DES SURFACKS. \2y
courbure, A*, de la section en O (n" 399),
k = valeur principale 7— \,^^,~z = valeur principale -7 — '^ ' (arc CM}* "^ ' as^
Or, d'cipn'îs Téqualion (i)de la surface,
•2 A5 = M dx^ -h N cfyi H- ... ;
donc, en prenant la valeur principale,
et, comme -j-y -,- sont évidemment les cosinus des angles que fait,
avec Ox et Oj', la tangente en O à la section OM('), c'est-àdire coso et sin'^, il vient Hnalement
( 3 ) / = M cos- 9 -f- N sin' 9.
Le rajon de courbure, p, est l'inverse de k :
' ' M cos'<p -f- IN sin^cp
Or, le carré du demi-diamètre, dirigé suivant O^, de Tindica- Irice M:r2-|- N^2__ ,^ est précisément i : (Mcos^-j-f- N sin^cp);
donc :
Théorème. — Le rayon^dc courbure en O, d'une section normale, est égal au carré du demi-diamètre de V indicatrice y dirigé suivant la trace de la section sur le plan tangent en O.
421 . Rayons et centres de courbure principaux. — En vertu de ce ihéorème, le rayon de courbure d'une section normale est maximum ou minimum quand la trace de la section est un
des axes de l'indicalrice, c'esl-à-dire quand o = o ou cp = -^' Les
deux valeurs correspondantes du rayon de courbure, à savoir
p'-ftî' P'-N'
/i T^ fi \ ' fi ^
(') Car — - > -— > -7^ sont les cosinus directeurs des angles que fait la tands ils ds
gcnte en un point d'une courbe gauche avec les trois axes.
se nomment rayons de courbure principaux de la surface au point O. Ils sont de même signe ou de signes contraires selon que rindicatrîce est elliptique ou hyperbolique. Si Tindicatrice est une hyperbole équilalère, M = — N; les rayons de courbure principaux sont égaux et de signe contraire, et réciproquement.
Si l'indicatrice est parabolique (c'est-à-dire en un point parabolique), M ou N est nul; un des rayons de courbure principaux est donc infini, et réciproquement.
Les centres de courbure principaux sont les centres de courbure des sections normales menées par les axes de Tindicatrice; ils sont donc sur la normale Oz, à des distances de son pied, O, égales à Pi et à p2.
