CHAPITRE V. — COURBURE DES SURFACES. 4'2y

en un point x^ j', z voisin de O, a pour équations

Pour qu'elle rencontre la normale en O, c'est-à-dire Taxe des z, il faut que ^f^ = N7^' °"

xyi^l — N ) -f- . . . = o,

les termes non écrits étant d'ordre supérieur au terme conservé. Si donc M^N, c'est-à-dire si l'indicatrice n'est pas un cercle, on aura à la limite o: = o ou^' = o ; en d^autres termes :

Pour que la normale à la surf ace en un point 0|, infiniment voisin de O, rencontre la normale en O, il faut et ilsufj^it que la direction 00 1 ait pour limite une des directions principales au point O.

Si la direction 00| est j? = o, on trouve, pour le z du point de rencontre de la normale en 0| et de l'axe des 5, la valeur |^; de

même, pour la direction ^ = o, on aurait ^ ; donc :

Les deux points où la normale à la surface en O est coupée par une normale infiniment voisine sont les deux centres de courbure principaux.

Sous une autre forme :

Les normales à une surface forment une congruence; les deux points focaux situés sur chaque normale sont les centres de courbure principaux de la surface pour le pied de la normale; enfin, diaprés ce qui précède et le n** 369, les deux plans focaux sont tes deux plans principaux de la surface au même point.

424. Courbure d'une ligne quelconque. — Prenons maintenant une surface représentée paramétriquement par les relations

(4) x = x{u,v), y=^yiu,v\ z = z{UyV);

et soient m, t^ les paramètres d'un point quelconque M(^,^, z) de la surface.

Considérons sur la surface une courbe quelconque MM' passant par M (Jîg' io3); pour évaluer sa courbure A*, en M, menons de M', infiniment voisin de M sur la courbe, une normale M'P au

Fig. io3.

plan tangent à la surface en M, et une perpendiculaire M'Q sur la tangente à la courbe en M.

On a (nO 399)

, ,. 2M'Q A* = Il m f .

D'ailleurs,

ce qui donne