CHAPITRE I. — généralités; différkntjklles
formule où les variables indépendantes ne figurent pas explicite-
ment.
43. Remarques. — i** Lorsqu'aux variables indépendantes, x eiy^ on substitue d'autres variables, u et r, d^ z change de valeur; car si l'on part de l'équation
. àz , dz .
dz = -— au ■+- ,— cfç, du oç
et si l'on diflerentie les deux membres en prenant x ely comme variables indépendantes, il vient en appliquant la règle du n" 42 :
rf » 5 = r-- du^ -+- 9. 3 — r- du di> -i- - - dv^ -h -- d^ yU-\ «Iv t'.
^^ du* âuàv ôv* du •^'' Ov -^^
On peut écrire
Ou -"^ ds^
diyz = d},^z -+- £ dly u-^£ d%, V,
et Ton voit bien que d'^yZ et dj^^,z ne sont pas idenïiques.
Mais il importe de remarquer que si z est une fonction composée z=/{u^ (^, (v), la différentielle seconde, d'-z^ donnée par (16), garde la même /orme quelles que soient les variables indépendantes : cela tient à ce que ces variables ne figurent pas explicitement dans le second membre de. (16). Il en résulte ce grand avantage de la notation différentielle que si l'on a une équation
entre des fonctions a, ç, iv des variables indépendantes, on pourra écrire, en différentiant deux fois,
o = — ■- du* H '- dv* -h -— • div-
Ou^ dv* div*
(lu bis) > -h 2 V — '- du dv H- •;• -*— du dw
du dv du div
d*'^ . , ^>-c? , d'z, do ,.
-ha,- '— dv div H- --^ d- u -\ ^ rf' r H '- d- w,
* dv dw du dif dw
quelles que soient les variables indépendantes et quelque soit leur nombre. Si, dans la suite des calculs, on avait avantage à prendre w, par exemple, pour une des variables indépendantes, on n'aurait qu*à faire dans la formule d- u = o.
5< rRCXIKRE PARTIE. — CALCUL DIFFKRKNTIKL.
L>xU*nsion des formules (i4)î (<6 ) el (i6 bis) à un nombre o îeVonquc de fondions composanles, z/, r, (v, ou de variables ïttJepenJanles, est immédiate.
j' I^ dérivée seconde partielle^ n'est pas le quotient de la
Jiirer^nlîeile seconde, d'-z, par le carré de dx] la formule
d^z— ^ d-r^ -+- 51 . — - fi^r dy -i dv-
Or* Or oy * oy^ -
le monlre immédiatement. Même observation pour j-^"-, --^, et
if» là encore l'utilité, pour éviter toute confusion, d'em[)lovor la loUre Jdans les dérivées partielles.
li. Différentielles d'ordre supérieur. — En raisonnant sur la
Jifférentielle seconde d'^z^ comme on Ta fait sut dz^ on définit la
lîiréi*enlielle troisième d^ z d'une fonction z^ de deux variables
indépendantes x et y : celle-ci s'obtient en diflerentianl Tex-
nrossion de rf^ V et en traitant, dans ce calcul, dx et dy comme
des constantes. Ainsi, de la relation
d^z = — "' t/.r' -+- 2 - — — dx dy -h — - dy-, 0.V' Oxoy '^ oy- *
on déduit
dl^.Z^d{%\\dx^^'ldi^'^-\dxdY-.di'^'^
Or
dx H- —— dy,
en désignant par — ~ la dérivée troisième de z par rapport à x,
par <- rr', 'î* dérivée troisième prise deux fois par ra[)[)ort à j:* et
une fois par rapport à y, ....
On en déduit
d^z = "^'i ^^3^. j ^l- ^rUfy 4- 3 - -"^ ; dxdv^'-\--- dy\
Ox^ Ox- oy Ox Oy- " Oy^ "^
On aurait de même d^ z, et ainsi de suite.
La loi de formation est évidente; les coefficients sont ceux du
