CHAPITRE V. — COURBURES DES SURFACES

en M,

1{ dir- -h 1 s du dv -f- T r/p» i ' ^^^ Ëdu'- -r- Jt F du dv -+- Gl/Jî i^i!^'

formule 1res imporlanle dont on va déduire de nombreuses conséquences.

42o. On voit d'abord que, en un point w, r, k ne dépend

que de -j-y c'est-à-dire de la direction de la tangente en M à la

courbe considérée, et de 0, c'est-à-dire du plan osculateur en M. Donc :

ÏHÉouiiME I. — La courbure en un point M d'une ligne tracée sur une sur/ace est la même que celle de toute autre courbe de la surface, ayant en M même tangente et même plan osculateur que la première.

Kn particulier :

La courbure en un point M d^une ligne tracée sur une surface est la même que celle de la section déterminée dans la surface par le plan osculateur de la ligne au point M.

Ce théorème ramène l'étude de la courbure des lignes tracées sur la surface à Tétude de la courbure des sections planes.

426. Courbure d'une section plane. — Considérons deux sections planes passant par la même tangente en IVI à la surface; -z-

est le même au point M pour les deux courbes sections. Soit 0 l'angle que fait le plan de la première section avec la normale ù la surface en M^ on a, pour lu courbure de cette section en M,

R ^//5-f- aS du dv -h T dv^ i A* — ,,

K du^ -t- >. V du dv-^G dv^ cos 0

Supposons que la seconde section contienne la normale en M ; Tangle 0 correspondant est nul, et la courbure de la section en M est

^^ " - E du^ -+- -2 F du dv 4- Odv^ '

43a TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQl'ES.

d'où.

Aq= /:cos6;

c'est le Théorème de Meusnier, qui s'énonce ainsi :

Théorème IL — Le rayon {ou le centre) de courbure, au point M, d^une section plane quelconque passant par M est la projection du rayon {ou du centre) de courbure de la section normale menée par la même tangente.

Cette proposition ramène l'étude de la courbure des sections planes à celle de la courbure des sections normales, faite directement au n"* 420.

427. Autres conséquences. — La formule (6), qui donne la courbure d'une section normale, va maintenant nous permettre de déterminer, en un point quelconque de la surface (4), les rajons de courbure principaux, les directions principales et asymptotiques, les points paraboliques, etc. Écrivons cette équation en faisant apparaître le rajon de courbure p, au lieu de la courbure A'o qui est son inverse :

__ E du^ -hiF du dv -4- G dv* ^'^^ P "~ Kdu^-^'iSdudi>-hT dv^ '

ce qu'on peut écrire aussi :

(8) (E--pR)</a2-H-2(F— pS)£fac/i'-4-(G— fT)rf^'î=o.

Cette formule, (7) ou (8), donne le rayon de courbure, au point (w, i^), de la section normale menée par la tangente dont la

direction est définie par le rapport -1- (n** 411).

Rayons de courbure principaux, — Ou les obtiendra, d'après le n°42i, en cherchant le maximum et le minimum de p quand

y- varie; ces valeurs se trouvent, d'après une méthode élémentaire connue, en exprimant que l'équalion (8), considérée comme équation du second degré en ^ > a ses racines égales. On a ainsi

(9) (F-pS)2-(E-pR)(G-pT; = o,