CHAPITRE V. — COURBURE DES SURFACES

équation du second degré en p, fournissanlles valeurs des ra}^ons de courbure principaux cherchés, au point d'arguments u et s^.

Directions principales. — Les valeurs de -r- qui correspondent

aux directions principales sont celles pour lesquelles p est maximum ou minimum; donc, en vertu de ce qui précède, quand

Féquation (8), en -j- » a une racine double, cette racine correspond

à une direction principale : elle satisfait aux deux équations qu'on obtient en dérivant (8) par rapport à du et à dv^ ce qui donne

(lO)

(il)

(E — pR)ûfM-4-(F — pS)rfi^ = o, (F — pS)é/a4-(G — pT)e/i; = o,

et, en éliminant p,

c'est-à-dire

du -^ F dv

^du^

Sdv

Fdu-^- Gdv ~

Sdu-r-Tdv'

dv* — du dv

du^

Telle est Téquatiou qui donne les deux valeurs de -r- qui correspondent aux directions principales ; on peut y remplacer R, S, T par leurs valeurs proportionnelles (n° 409). De même, il suffirait de connaître les valeurs proportionnelles de E, F, G.

Directions a sympto tiques. — Les sections normales menées par les asymptotes de l'indicatrice en M ont, en ce point, leur rayon de courbure infini (n** 422) et réciproquement.

On obtiendra donc les directions asymptoliques en écrivant que l'équation (7) donne, pour p, une valeur infinie, d'où :

(i3) ï{du^-i--xSdudç-{'Tdsf^ = o.

Ici encore on peut substituer à R, S, ï leurs valeurs proportionnelles.

Points paraboliques. — Ce sont les points où l'un des rayons de courbure principaux est infini (n° 421); l'équation (9) en p aura H. 28

434 TROISIÈME PARTIK. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQITES.

donc, pour un de ces points, une racine infinie, d'où (i4) S*— RT^-o.

C'est là une relation entre u et (% qui définit sur la surface une ligne, dite ligne parabolique, dont tous les points sont paraboliques.

Ombilics, — On nomme ombilic tout point où l'indicatrice est un cercle : les directions principales (axes de l'indicatrice) sont alors indéterminées, c'est-à-dire que, dans l'équation (i^), les coefficients de rfw^, du rfr, rfr^ sont nuls, ce qui donne

On a ainsi deux équations entre u et i^, qui déterminent, sur la surface, un nombre limité de points, lesquels sont les ombilics.

4î28. Si la surface est donnée sous la forme z =/(a:^ y), on supposera, pour appliquer les formules ci-dessus, u = j?, v ==jk; d'où, puisque A = — p, B= — </, C = i ,

/ i — ; D A ^^^ ly ^^y n^^^ à^^

du^

âu^

du*

ôx^

Ou du

du àv du dt> dx dy

et l'on a trouvé (n® 414)

E = i-t-^2, V ^pq, G = i-+-^«.

L'équation (9), aux rayons de courbure principaux, devient ainsi :

L'équation (12), aux directions principales, devient :

(12 bis)

l-h p^ pq \ -^ q^

dy^ — dx dy dx^