II. - LIGNES DE COURBURE, LIGNES ASTMPTOTIQUES

429. Lignes de courbure. — On nomme lignes de cou,rbure sur une surface les lignes qui, en chacun de leurs points, sont tangentes à une des directions principales en ce point.

Les directions principales de la surface proposée, au point u^ r, sont définies par Téquation (12), qui est de la forme

(la) a(Uy v) du^-^ ib{u, v) du dv -^ c( u, v ) dv* = o,

a, 6, c étant des fonctions connues de Met de i^; une ligne v = '^{u)j tracée sur la surface, sera donc une ligne de courbure si la valeur

-j-= o'(w), qui correspond à la direction de sa tangente (n° 411),

vérifie l'équation (12) en tous les points de la ligne, c'esl-à-dire si Ton a, quel que soit 1/,

Le problème est donc ramené à trouver une fonction, ç(m), vérifiant celte relation, qui est une équation différentielle du premier ordre.

La recherche de la fonction 'f (w), c*est-à-dire des lignes de courbure, revient donc à l'intégration de l'équation diflférentielle, où nous récrivons i^ à la place de »(w),