TROISIÈME PARTIE

c'est-à-dire, d'après (12),

APPLICATIONS GEOMETRIQUES.

dv du

où E, F, G, R, S, T sont des fonctions données de m, r.

On établira, dans le Cours de seconde année, que la solution générale, i^, d'une équation diflférentielle du premier ordre renferme une constante arbitraire, c'est-à-dire que l'on a

La fonction v étant trouvée par un procédé d'intégration quelconque, les lignes de courbure s'obtiendront en remplaçant v par sa valeur en u dans les équations qui définissent paramétriquement la surface (4); une quelconque de ces lignes sera donc donnée paramétriqueraent par

En faisant varier C, on aura ainsi une infinité simple de lignes de courbure.

Comme il y a en chaque point deux directions principales toujours réelles, il y aura deux lignes de courbures réelles passant par tout point de la surface. En d'autres termes, les lignes de courbure forment deux séries réelles, et, de plus, les courbes d'une série coupent à angle droit toutes les courbes de l'autre, puisque les directions principales en un point sont rectangulaires,

430. Liignes asymptotiques. — On nomme asymptotiques les lignes tracées sur une #urface et qui touchent, en chacun de leurs points, une des directions asymptotiques en ce point. On les trouvera, en vertu du raisonnement fait pour les lignes de courbure, en intégrant l'équation (i3) aux directions asymptotiques.

du \du/

où R, S, T sont des fonctions connues de u et v^.

Il y a évidemment deux lignes asymptotiques passant par chaque point de la surface, c'est-à-dire que ces lignes forment deux séries;