CHAPITRE V. — COURBURE DES SURFACES

mais les lignes asymptoliques passant par un point ne sont pas nécessairement réelles : elles sont réelles si Findicatrice en ce point est h}^perboliqiie; imaginaires si i^indicatrice est elliptique. Par exemple, sur une surface fermée convexe, comme l'ellipsoïde, les lignes asymptotiques sont toutes imaginaires.

Remarque. — D'après cela, on obtient l'équation différentielle des asymptotiques en annulant la quantité o, valeur principale de la distance du point (w-hrfw, v-^dv) de la surface au plan tangent en (w, v)] or, nous avons vu (n° 410) que 8 garde, à un facteur près, la même forme quels que soient les angles des axes; donc, en coordonnées cartésiennes, rectangulaires ou obliques, l'équation différentielle des lignes asymptotiques est toujours

o = du'^(^

Ou^ du* du*/

431. Autre définition des lignes de courbure. — D'après le n" 423, si O et Oi sont deux points infiniment voisins sur une ligne de courbure, les normales à la surface en ces deux points se rencontrent (aux infiniment petits près d'ordre supérieur à 00|). Il en résulte (n® 365) que les normales à une surface le long d'une ligne de courbure enveloppent une courbe, c'est-à-dire forment une surface développable. On peut le vérifier en cherchant à déterminer directement les lignes qui possèdent cette propriété.

La surface étant z --= f{x^ y), la normale au point x, y, z est

Supposons maintenant que le point j:,j^', z décrive une courbe sur la surface ] y qX z sont des fonctions de x^ seule variable indépendante, et la condition pour que les normales considérées admettent une enveloppe est, d'après la formule (10) du n° 366,

dp d . dq d ,

ou, après développement et réductions,

dp Idy dz\ dq f dz\

dx \dx * dx ) ~ dx\ ^ dx )*

et, puisque

dp ^ dy dq dy dz ^ dy

dx ~~ dx ' dx ~~ dx ' dx ^ ^ dx '

il vient

On retrouve ainsi l'équation différentielle (i 2 bis^ des lignes de courbure, ce qui établit la proposition.

432. Autre définition des lignes asymptotiques. — Cherchons sur une surface les lignes qui admettent pour plan osculateur, en chacun de leurs points, le plan tangent à la surface en ce point.

Soient f/, i^ et u-i-du^ v -\- di> les paramètres de deux points voisins, M et M', sur une telle ligne : pour que le plan tangent en M soit osculateur à la courbe, il faut et il suffit, d'après la théorie du contact, que la distance de M' à ce plan soit du troisième ordre par rapport à MM'. Or, la distance de M' au plan tangent en M a pour expression (n" 409)

-(Kdu^-hiSdudv-^T dv*) -f-...,

les termes non écrits étant d'ordre trois au moins en du etrfi'; pour qu'elle soit du troisième ordre, il est nécessaire et suffisant que les termes d'ordre deux disparaissent, c'est-à-dire que du et dv soient liés par l'équation

R du^ -h iS dudv~T dv^ = o,

qui est l'équation aux directions asj'inptotiques. En d'autres termes, les courbes cherchées ont pour direction de tangente, en chacun de leurs points, une des directions asymptotiques en ce point; elles coïncident donc avec les lignes asymptotiques.

Exemples.

433. Hélicoïdes. — Un hélicoïde d'axe 0^ est défini paramé triquement (n° 416) par

(if)) x = rcosti)j y = rsiins}^ z=/(r)-^au}.