CHAPITRE V. — COURBURE DES SURFACES

r et (o étant les paramètres désignés par u et v. On en conclut . dy àz dz dy -,, .

B— = — r/'(r) sino) — acoso),

D'ailleurs on a (n'* 416)

et

Sv/A«-r-B«-hC» - A-^ -h =-rt,

T v/A«-^B«-^C« = A^ -f- = /-VC^).

L'équation diflcrentielie des lignes asymp ta tiques est donc

(17; ry*" ( r ) dr^ — 1 a dr du) -f- r*/'( r ) rfcu' :— o :

d'où Ton tire

dr a ±: \/â^--rif( r)/'(r)

On peut réunir dans un membre les termes en /•, dans Tautre membre les termes en w, en écrivant (5P/?rtra/io/i des variables) :

\azr.>/a^—r^J"{r )/'{,'))

d'oii, en intégrant les deux membres,

rr(r)dr

= u) -h const.

On trouvera donc l'équation des asymptotiques en eifectuant une quadrature; le signe ih donnera les deux séries de ces lignes. Par exemple, pour la surface de vis à filet carré, f{r) est nul (n° 416), et les as}^ m plo tiques sont données par l'équation (17), où / —-/'=/*= o. Il reste

dr do) = o,

d'où les deux solutions

r = const., ce qui donne des hélices circulaires (n® 407, i^)\ (o = const., ce qui donne les génératrices rectilignes.

Les lignes de courbure de l'hélicoïde général (i 6) sont données par Téquation

rfir) -a r^f\r) = o.

e/co' — dr dtù dr*

Elle est de la forme

M dr* -r- 'iN dr dvi -+- P dta* = o,

dr

M, N, P étant fonctions de /• seul. On en tirera donc, pour ^> deux valeurs

dr dr

d(ii

dr

= dU}y

dit) dr

= du}y

et les lignes de courbure des deux séries seront données par les équations

dr r dr

r dr

(O ■+■ con

= (O H- const.

On a ainsi des relations entre r et co, qui, à cause de la signification géométrique de r et de w, représentent les équations des projections des lignes de courbure sur le plan des xy^ en coordonnées polaires.

Pour la sur/ace de vis à filet carré, l'équation des lignes de courbure est, en faisant /^= /'=/''= o,

ou

^to* — dr dta dr'^

ce qui s'écrit, en séparant les variables,

dr

= ±doi.