CHAPITRE V. — COURBURE DES SURFACES
et, en intëgrant,
log(r -h v//*M- a*) = rh 10 -H- loge, /• -i- /r' -h a' = ce*^ ;
d'où, ps^ruQ calcul facile,
7,r = ce"^^ e'=".
434. Surfaces de révolution. — Il suffit de faire a = o dans les formules précédentes pour qu'elles s'appliquent à la surface de révolution autour de 0.3 :
rr = /'cos(u, y = rsinu). z — f{r). L'équation différentielle des lignes de courbure est donc
— dr do) dr^
OU
ridrdia\/'(r)[, -+-/'»(r)] - r/'(r)j r- o.
En général, le coefficient de drdio n'est pas nul; l'équation différentielle se réduit donc à drdio = o; ce qui donne, pour les lignes de courbure, les méridiens ((o= const.) et les parallèles (/•z^ const.). Ce résultat est géométriquement évident, car les normales à une surface de révolution le long d'un méridien ou d'un parallèle engendrent une surface développable, plan ou cône.
Si le coefficient de dr do) était nul, l'équation différentielle des lignes de courbure serait indéterminée, c'est-à-dire que toutes les directions seraient principales autour d'un point quelconque : une ligne quelconque tracée sur la surface serait alors ligne de courbure. En ce cas, la fonction /(r) vérifie l'équation
/•(r)[i^/'i(,.)]-r/'(r), qui s'écrit, en séparant/* et r.
Le premier membre est la dérivée de log/°, le dernier est celle
44^ TROISIEMK PARTIE. — APPLICATIONS GEOMETRIQUES.
de log/(/') — ^*og[»-^/'^'')]; on a donc
logr = log/'(r ) — log/i 4-/'*(r) -f- loge, c'est-à-dire
/-= , -^^ — ou f(r)= -. >
et, en remontant encore aux primitives, on trouve
La méridienne, dans le plan zOx^ est 5 = /(a:); elle a donc pour équation
z -T- /c* — a:' -H c' = 0, c'est-à-dire
ir' -4- 5* -H •;► c'>5 -+- c'' — c' = o ;
c'est un cercle aj'ant son centre sur Os. La surface est une sphère.
Il est évident, a priori^ que les lignes de courbure de la sphère sont indéterminées, car toutes les normales concourent au centre, de sorte que toutes les directions autour d'un point sont des directions principales (n** -423).
Les lignes de courbure du plan sont également indéterminées.
435. Surfaces réglées. — Une droite située sur une surface est nécessairement une ligne asymptotique de cette surface : car le plan tangent en un quelconque M des points de la droite contient celle-ci, qui est, dès lors, une des tangentes, en M, à la courbe d'intersection du plan et de la surface (n" 42^2, 2").
Donc, sur une surface réglée, une des deux séries de lignes asymptotiques est formée par les génératrices rectilignes.
Sur les quadriques, les deux systèmes de génératrices rectilignes donnent les deux séries d'asymplotiques.
436. Surfaces développables. — Sur une surface développable, lous les points sont paraboliques, car Péqualion
(i4 l>i^) tt — s^—o^
qui donne ces points (n° 428), est vérifiée en tous les points de la
