I-+- /?' pq I -h

fdyy dy ^

\dx) dx

devra être vérifiée, quel que soit jt, pour y~-- o, -^ ^ o, ce qui donne

(2) six, o)[\-^ p^ix^ o)\~ r{x, o)p{x. o)qix, o) = o.

On peut écrire, en posant pour abréger r{x^ o) = ro(^), . . . , (3) ^o(^) ^ />o(a^)^o(^)

D'ailleurs, comme 5= -,-i on a

ox

et de même

on voit ainsi que le premier membre de (3) est la dérivée de

logyo(-^); le second la dérivée de - log[i -f- /?J(;r)] ; on a donc, en remontant aux primitives,

(4) cgoix) = )/i-^ piix),

c étant une constante arbitraire. Cette formule démontre le théorème, car, en un point (x, o, z) du plan des xs^ le plan langent à la surface a pour coefficients p{x^ o), ç{x^ o) et — i, c'est-à-dire po(x)^ Ço{^) et — i; l'angle V qu'il fait avec le plan des xz est donc donné par

ro) cosV= ^«(*^'> - ^^(^> -— '

)/pî{x)-{-gl{x)-i-i \/<7J(a:)(i-^c») /i-t-c*

en tenant compte de (4) : l'angle V est donc constant.

Réciproq uement , si le plan des xz coupe la surface sous un angle constant, on en déduit la relation (4); puis, en la dérivant logarithmiquenient en x^ les relations (3) et (2), ce qui montre que Téquàtion (i)des lignes de courbure est satisfaite pour^ = o,

-^r^o; la section par le plan des xz est donc une ligne de

courbure (M. c. q. f. d.

(') Plus généralcinenl, d'apn'îs Joachimslahl, si deux surfaces S e^ S admettent une même ligne de courbure, C, elles se coupent, le long de cette ligne, sous un angle constant. Kn effet, les normales à S le long de C forment une développable, c'osl-à-dire touchent une courbe, qui est dès lors une développée de G ; de même les normales à S le long de C touchent une autre déve-