CHAPITRE V. — COURBURE DES SURFACES

438. Corollaire I. — Considérons une surface S, enveloppe d'une infinité simple de sphères; elle esl touchée par une quelconque de ces sphères suivant un cercle (n° 362), les plans tangents le long de ce cercle (qui sont ceux de la sphère) font un angle constant avec le plan de la circonférence, et par suite, d'après le théorème précédent, celle-ci est une ligne de courbure de la surface. Ainsi :

Sur une surface enveloppe de sphères, une des deux séries de lignes de courbure est formée par les cercles suivant lesquels la surface touche les sphères enveloppées.

Les lignes de courbure de l'autre série sont les trajectoires orthogonales de ces cercles.

439. Corollaire II. — Réciproquement, si une série de lignes de courbure se compose de cercles, le plan de chacun d'eux coupe la surface sous un angle constant, c'est-à-dire qu'il existe une sphère tangente à la surface tout le long du cercle. La surface proposée est donc une enveloppe de sphères; ainsi :

Si les lignes de courbure d^une série sont des cercles, la surface est l'enveloppe d' une famille de sphères dont chacune la touche suivant un de ces cercles.

440. Problème. — Trouver une surface dont toutes les lignes de courbure soient des cercles, — En vertu de ce qui précède, celle surface sera l'enveloppe de deux familles différentes de sphères, simplement infinie chacune. Je dis que chaque sphère d'une famille touche chaque sphère de l'autre famille. Soit, en

loppée (le C : donc, en vertu du n*^ 406, les normales à S et à £ en un même point de C se coupent sous un angle constant.

Réciproquement, on établit de mùme que, si deux surfaces se coupent sous un angle constant le long d'une ligne de courbure de l'une, cette intersection est une ligne de courbure de l'autre.

Sur un plan ou sur une splière, toute courbe est une ligne de courbure, et par là se trouve établi, non seulement le théorème du texte, mais le théorème analogue, où Ton substitue la sphère au plan.

effet, M ^fig' io4) un point quelconque de la surface; figurons les deux lignes de courbure circulaires qui s'y croisent; les sphères, appartenant à deux familles différentes, qui touchent la surface le long de ces deux cercles, se touchent dès lors en M, ce qui établit la proposition.

I^a surface inconnue ne peut donc être que Tenveloppe des

Fig. X04.

sphères, en nombre simplement infini, qui touchent trois sphères fixes, c'est-à-dire la cyclide de Dupin rencontrée au n° 112.

Réciproquement on a vu (n° 112) que cette cjciide est bien l'enveloppe de deux familles de sphères, simplement infinie chacune : la surface à lignes de courbure circulaires dans les deux systèmes est donc la cyclide de Dupin,

On peut montrer, avec M. Mannheim, qu'elle est la transformée, par rayons vecteurs réciproques, d'un tore.

Soient, en effet, 2|, S2) ^3 l^s trois sphères fixes; dans le plan qui contient leurs centres on peut tracer un cercle qui les coupe orthogonalement, car il y a toujours un cercle orthogonal à trois cercles d'un plan. Si l'on fait une transformation par rayons vecteurs réciproques en prenant le pôle sur ce cercle, le cercle devient une droite. A, orthogonale aux sphères S',, S^» ^s) transformées des trois sphères primitives : les sphères S',, S^, S, ont donc leurs centres en ligne droite sur A.

Toutes les sphères qui touchent S^, 2j, Sj s'obtiennent évidemmertt en faisant tourner une (ou plusieurs) d'entre elles autour de la ligne des centres A; et leur enveloppe est un tore (ou, mieux, plusieurs tores). Donc :

La cyclide de Dupin est la transformée d^un tore par rayons vecteurs réciproques.