CHAPITRE 1. — généralités; différentielles
binôme, de sorle qu'en général
[ d"z r= dx" 4- n — - dx'^ -» dv
\ Ox'^ Ox"-^Oy
Pour établir celle formule, vérifiée pour n == 1 el /i = 2, montrons c|ue si elle esl vraie pour une valeur /?, elle esl vraie pour /i4-i. A cet elFet, différentions (17) en traitant, dans le calcul, selon la règle, dx et dy comme des constantes; il vient
/ ov ^ . fd'*^^z . d^-^^z , \ ,
(18) ^«-+-1;:= ( - — --dx-\- dY]dx'^-^-....
On voit que le coefficient du terme en —-^ — dxP^^ dy"~P
est la somme de deux coefficients consécutifs du second membre de (17), a savoir ceux des termes en et
OxP^^ ôy'*-t* - * dxi* Oy"^ -1* coefficients qui, dans la notation des combinaisons, se représentent par C^^* et C^. Or on a {Cours de Mathématiques spéciales)
ce qui démontre le théorème.
Il est clair que pour les variables indépendantes, en vertu de (17), d^x = d^y = rf* j: = . . . = d"x = d"y = o.
On écrit souvent la formule (17) sous la forme d'une puissance
symbolique
/Oz \ôx
, / oz , Oz , \n
d'^z = l -;- dx-{- ~dy j ,
en convenant de développer le second membre suivant la formule du binôme et de remplacer les expressions
De même, s'il y a plus de deux variables indépendantes, d"z sera donnée par la formule symbolique
. /àz , âz , dz . \«
a" z = ( - dx -\- .- dy -\' — dt -\- , , . ] . \dx dy -^ ôl I
45. Différentielles successives d'une fonction composée. — Les
4o PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.
dilVérenlielles successives d'une fonction composée z =/(^u^v) s'obtiennent (n'*42) en diflerentiant une, deux, trois, . . . fois la
relation
, Oz âz ,
az = -T- au -i- -- d\>.
ou ôv
et en écrivant rf^w, c/'//, . . ., pour les différentielles successives de dii^ d^u, ... La démonstration est la même que celle donnée au n"* 42 pour d^z.
On obtiendra ainsi l'expression de d"z en fonction de
t/w, dvj d^Uj d*i\ ..., d"Uy d"Çj
toutes ces différentielles correspondant, bien entendu, au même choix des variables indépendantes.
46. Différentielles successives d'un produit. — En particulier, soit la fonction composée
z = uv,
on a
dz =■ u dv -^ i> du^
d^z = ud^i> -h '1 du dv H- c d^ w, et en général
d*z = ud'»v-\- ndud't-^v -h 'iL'LzJJ d^ud'^-'^v -\-. ...
les coefficients étant ceux du binôme. On établit cette formule par la méthode du n°44; elle est due à Leibniz.
47. Théorème. — Si l'on a obtenu d'une manière quelconque l^ expression de la différentielle seconde d'une fonction Zy de deux variables indépendantes x et y^ sous la forme
d*z = X da?^ -^- iB djc dy -h C dy^, on a nécessairement
A = -— - , B = — , ti = ,-- •
Ox^ ôx dy ôy^
Car les deux expressions Ag d'^ z :
—^ dx^ -h 1 - — ^ dx dy -+- -— ^ dy* Ox* Oxôy -^ Oy* -^
et
