Lemme I. — Soit une transforma lion de contact

faisant correspondre, à un point m (.z:, y, z) d'une surface 5, un point M(X, Y, Z) d'une surface S. Si le point m éprouve un déplacement dx^ dy, dz sur 5, le point M éprouve un déplacement correspondant <iX, t/Y, t/Z sur S; en d'autres termes, à une direction de déplacement mm! sur s^ à partir du point m, correspond une direction de déplacement MM' sur S, à partir du point M, et Ton a :

-h --^{r dx -h s (fy) -^ ~'- {s dx -^ tdy), d\ —-..., r/Z :^ . . . .

Comme les seconds membres ne dépendent que de dx, dy, jc^y-i z,p^ q, /•, 5, t, on voit que /a directionMM' reste la même quand, la direction mm' restant fixe, on substitue à la surface s une autre sur/ace quelconque, ayant avec elle, en m, un contact du second ordre (n° 353).

442. Lemme II. — Si deux sur/aces ont entre elles, en un point, un contact du second ordre, elles ont en ce point mêmes directions principales et asympto tiques.

Car les directions en question ne dépendent que des valeurs de Pf y» '\ Sj ^ 3" point considéré, en vertu des équations (12 bis) et(i3 />/5)du n"428.

443. Théorème de Lie. — Soient deux sur/aces, s et S, transformées l'une de l'autre par la transformation de Lie {n° HO) ; à un point m de s correspond un point M de S : quand m décrit une ligne asymptotique de 5, M décrit une ligne de courbure de S.

Tout revient à établir que, si m se déplace, sur 5, dans la

direction mm d'une asjmplolique, M se déplace, sur S, dans la direction MM' d'une ligne de courbure.

Or, soient a une surface particulière quelconque aj^ant avec s un contact du second ordre au point m, et S sa transformée parla transformation de Lie; les deux surfaces S et S ont entre elles, en M, un contact du second ordre, puisque les contacts des divers ordres sont conservés parla transformation (n® 354). En vertu des lemmes I et II, il suffit, pour démontrer le théorème de Lie, d'établir que si m se déplace, sur <t, dans la direction, mm\ d'une ligne asymptotique, M se déplace, sur S, dans la direction, MM', d'une ligne de courbure de S.

On peut choisir pour t une surface du second ordre, à deux séries de génératrices recti lignes, réelles ou imaginaires : en effet, si Ton prend le point m pour origine, avec des plans de coordonnées convenables, l'équation de la surface s s'écrit (n® 419)

et le paraboloïde elliptique ou hyperbolique

a un contact du second ordre à l'origine avec 5, puisqu'on a, en ce point, pour les deux surfaces,

Ce paraboloïde étant pris pour o-, la surface S sera (n** 112) une cyclide de Dupin, S; lorsque le point m décrit une génératrice rectiligne de o-, les éléments (m, w) correspondants sont les éléments communs à <t et à la droite; les éléments transformés (M, II) sont donc communs à S et à une des sphères inscrites (n** 112), c'est-à-dire que M décrit le cercle de contact de S et d'une sphère. C'est là ce qu'il s'agissait d'établir, puisque, sur o-, une génératrice rectiligne est ligne asymptotique (n** 435), et que, sur S, un cercle de contact est ligne de courbure (n** 438).

Les problèmes de la recherche des lignes de courbure et des lignes asymptotiques sont ainsi ramenés l'un à l'autre : si l'on sait trouver les lignes asymptotiques d'une surface on saura trouver les lignes de courbure d'une autre surface, et réciproquement.