CHAPITRE V. — COURBURE DES SURFACES

Théorème de Dupin,

44-4. Définition. — Une famille simplement infinie de surfaces étant représentée par une équation de la forme /(j?,^', 5, ^)= o, on peut résoudre cette relation par rapport au paramètre X, ce qui donne

autre forme de Téquation de la famille. Soit une autre famille simplement infinie

cherchons à quelles conditions une surface (1) quelconque coupera à angle droit, tout le long de son intersection avec elle, une surface (2) quelconque.

Soit j?, y, z un point commun à la surface (1) et à la surface (2), la condition d^orthogonalilé des plans tangents en ce point est

^ ' dx dx dy Oy dz âz '

équation qui doit être vérifiée pour toutes les valeurs de x^y, z qui satisfont à (i) et à (2), et cela quels que soient X et a. En d'autres termes, Téquation (3) doit être vérifiée pour toutes les valeurs de :r, y^ z, X et [jl qui satisfont à (1) et (2); c'est-à-dire qu'en tirant X et [jl de (i) et (2), et portant dans (3), on devra obtenir une identité en Xy y, z. Mais précisément l'équation (3) ne contient ni X, ni ix : elle devra donc être une identité en j?, y, z.

Cela posé, on dit que trois systèmes de surfaces,

(4) X = F(x,^,-3), ii = ^{x,y,z), ^ = ^'{x,y,z),

forment un système triple orthogonal, si toute surface de chacune des familles coupe partout à angle droit toutes les surfaces des deux autres familles.

D'après ce qui précède, il en sera ainsi si l'on a identiquement, H. 29

45o TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

quels que soient x^y^ z^

dF ^ ^ ^ ()F d* __ dx dx dy dy dz âz ~~ *

àx dx dy dy dz dz '

d^dF dW dF^ d^ d¥ dx dx dy dy dz dz

4iS. Théorème de Dupin. — Les trois familles de surfaces d'un système triple orthogonal se coupent mutuellement suivant leurs lignes de courbure.

Pour le démontrer, considérons un point quelconque M, d'une surface I de la première famille ; les surfaces II et III, des deuxième et troisième familles, qui passent par M coupent la proposée 1 suivant deux courbes, qui ont respectivement pour tangentes en M

Fig. i()5.

les droites MT2 et MT3 {fi g- io5); tout revient à établir que MT2 et MÏ3 sont les directions principales de la surface I, au point M.

A cet effet, supposons Toriginc de coordonnées transportée en M; prenons pour plans des xy^ Acs yz et des zx les plans tangents en M aux surfaces I, II et III, respectivement : ces trois plans sont deux à deux rectangulaires, par hypothèse, et les axes des X et des y sont les droites MT3 et MÏ2.

Après ce changement, soient

Xo= ¥{x, y,z), \iQ= *(^,>'» -), vo= ^'{x,y,z)

les équations des surfaces I, II et III : les F, O et U'' ne sont pas les mêmes que précédemment, mais les identités (5) ont toujours lieu entre les dérivées partielles de ces nouvelles fonctions.

Cherchons les directions principales de la surface I, à l'origine, et pour cela développons F(a:, y, :;) — Xq, suivant les puissances