CHAPITRE V. — COURBURE DES SURFACES
Ces trois racines sont réelles, et comprises respectivement entre — 00 et c^, c^ et b^j b^eia^; il suffit, pour le voir, de substituera)., dans le premier membre de (i3), les valeurs — oc, c^ — e, c^ -|- e,
En d'autres termes, par un point quelconque de Tespace passent trois quadriques réelles du système (12); Tune est un ellipsoïde, l'autre un hyperboloïde à une nappe, la dçrnière un hjperboloïde à deux nappes.
On a ainsi trois familles de surfaces représentées par la même équation (12), à savoir les ellipsoïdes et les deux espèces d'hyperboloïdes; je dis que ces surjaces forment un système triple orthogonal.
Soient, en effet.
deux d'entre elles; les coefficients de leurs plans tangenls en un
point commun x, y, z sont ^^ . > -rr-Ty -r— ^; —r- — » •••'
et il faut prouver que l'on a
pour toutes les valeurs de j?, y, z qui vérifient les deux relations (i4)* Or, en retranchant ces deux relations membre à membre, et divisant par \ — [jl, on trouve précisément l'équation (i5).
Donc, par le théorème de Dupin :
Les lignes de courbure d'une quadrique à centre sont ses intersections par les quadriques homojocales.
Ces lignes sont donc algébriques.
447. Coordonnées elliptiques sur l'ellipsoïde. — Soit l'ellipsoïde (E),
les valeurs de X qui correspondent aux trois surfaces homofocales passant par un point x^y^z de cet ellipsoïde sont les racines de l'équation
ou
X»-+-X»(arî-4-^2-+-5«— a»— 6î— c») — X[(6î-hc«)a72-+-(c«-+-a«)72-t-(rt*-h6»)^«— 6«c«— c«a«— a»6«]
Le terme indépendant de X est nul en vertu de (i6), d'où la racine X = o, évidente a priori, qui correspond à l'ellipsoïde (E) luimême; les deux autres valeurs de X vérifient l'équation
X«-hX(ir«-h^*-t-5«— a«— 6»— c»)
Désignons-les par a et c^; nous avons — (ttH-i') = x^-^-y^-^z^ — a' — 6' — c*,
et, en joignant à ces deux équations l'équation (i6), nous pouvons exprimer linéairement ar^, y^ et z^ en fonction de w + p et de uv^ sous la forme
C'est une expression paramétrique pour les coordonnées d'un point quelconque de l'ellipsoïde (E); les équations ?/ = const. et r = consl. représentent les intersections de cet ellipsoïde avec des hyperboloïdes homofocanx; ce sont donc les équations des lignes de courbure de (E).
On en déduit, sur l'ellipsoïde, le carré de l'élément d'arc, sous la forme
