CHAPITRE V. — COURBURE DES SURFACES

ce qui peut s'écrire

( ^ //î— -C — ^r udu^ vdv^ "j

Sur/aces mini ma.

4i8. On nomme sur/aces minima celles dont les lignes asymptotiqnes se coupent partout à angle droit, ou, sous une autre forme évidemment équivalente, celles qui ont pour indicatrice, en chaque point, une hyperbole équilalère. Leur nom se rattache à cette propriété que, parmi les surfaces limitées à une courbe gauche fermée, celle dont Taire est minimum est une surface minima.

Si l'indicatrice est une hyperbole équilatère, les rayons de courbure principaux sont (n®421) égaux et de signe contraire : pour exprimer qu'une surface ûc = x(ii, t^), y=zy(^u^ ç)^ z^z(u^ v) est minima, il faudra donc écrire que Téquation (9) du n® 427, aux rayons de courbure principaux, manque du terme en p, c'està-dire que l'on a

(i8) 2FS — ET — GR = o,

quels que soient les deux paramètres u et i^.

Par exemple, pour la surface de vis à filet carré, R et T sont nuls, F l'est également; car, dans les valeurs de R, T, F données au n**433 pour l'hélicoïde général, on doit faire y*(r)=o. La surface de iHs à filet carré est donc une surface minima.

Si la surface est donnée sous la forme z-=f{x^y)^ l'équation (18) devient, en remplaçant E, . . . , R, ... par leurs valeurs (n" 428),

(19) (i-^/>*)^ — ipqs -\-{\-k- q^)r =z Cl.

Le problème de trouver toutes les surfaces minima revient à déterminer toutes les fonctions z, de x et j^, dont les dérivées partielles, premières et secondes, vérifient celte équation : il faut donc, en d'autres termes, intégrer l'équation différentielle (19); Monge l'a fait le premier, et de nombreux résultats ont été obtenus depuis sur les surfaces minima.

449. Exemple. — Cherchons à déterminer les surfaces minima de réi^olution. Pour la surface de révolution (n® 416)

a? = rcos(D, ^ = rsintjt), z=/(r)f

les valeurs de E; F, G sont i -\-f^{r), o, r^; les valeurs proportionnelles de R, S, T sont rf{r), o, r^f{r) (n«» 433 et 434). Donc, si la surface est minima, on a, par (i8),

[i-h/'«(r)lrV'(/')+'V(^)=o,

équation diflFérentielle d'où il faut tirer la fonction inconnue /{r). On peut écrire, en séparant les variables / et r,

d'où, en décomposant -p: 577: en éléments simples.

et, en remontant aux primitives,

log/' — ^ log ( I -+-/'« ) = — logr H- loge, c'est-à-dire

»/' + /'* '■ On en tire

et, en intégrant encore une fols,

/= clog(r -+-//'* — c*)-+- c'.

La méridienne, dans le plan 5 Ox, c'est-à-dire la courbe zz=:f{x)^ est donc

Z = c Iog(j' H- ^X'^ —^7^ ) -h c'.

La valeur de la constante c' n'influe pas sur la forme de la surface de révolution : car changer d revient à déplacer la méridienne parallèlement k Oz {fig* 106), axe de la surface. On peut donc