CHAPITRE I. — GENERALITES; DIFFERENTIELLES

A dx^ ->r i\i dx dy ->r C dy'*,

doivent être égales quels que soient x^ y^ dx et dy,

L'exlension à d^z^ rf*w, ..., et à un nombre quelconque de variables indépendantes, est immédiate.

48. Dans le cas particulier d'une fonction ^, de deux variables indépendantes x et ^, on fait souvent usage des notations suivantes, qu'il est utile de connaître. On pose

dz

0^ ~ P' ày = '^'

O^z àp

Ox^ dx '

à'Z dp i)q ôx ôy ôy ôx '

à'*'Z __àq ày- ôy

On a ainsi

dz = p dx -+- q dy, d^z = r dx' -+- '2s dx dy -^ l dy^.

L'équation :; z=f(^Xjy) représente une surface; en un point de cette surface {x,j'^ z), on sait que le plan langent a pour équation

ou, avec les notations ci-dessus,

Jïemarque. — Soit M(x^>y,z) un point de la surface désignons par T (/ig. 5) le point du plan langent en M qui a pour

Kig. 5.

^j[^dLr,y*dy

coordonnées x-\-dx^ J-^^J'] '^ ^ ^^ ce point sera, d'après

4l PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFERENTIEL.

Téqualion du plan langent,

Ç = ^ -\-p d.c H- q dy.

1^ — z = TP = p dx -^ q dy,

D'où

c'est-à-dire dz.

J)onc la difiTérentielle dz est rigoureusement égale à raccroissement de l'ordonnée z^ quand on passe du point M(^,y) sur la surface au point voisin T [x -{- dx ^ y -^ dy) suv le plan tangent en M (axes rectangulaires ou obliques).

On en déduirait, comme dans le cas des fonctions d'une seule variable, une définition ou interprétation géométrique de la différentielle seconde d'^z.