IV. - DÉVELOPPÉE D'UNE SURFACE

451. Lignes géodésiques. — On nomme géodésiques les lignes tracées sur une surface et dont le plan osculateur en chaque point contient la normale à la surface en ce point. On apprendra, dans le Cours de seconde année, à former leur équation différentielle, et l'on verra que ces lignes sont en nombre doublement infini, c'est-à-dire dépendent de deux paramètres arbitraires.

Sur la sphère, les grands cercles sont évidemment des géodésiques, et il n'y en a pas d'autres; car, s'il existait une géodésique différente, ses plans osculaleurs, qui, d'après la définition même, doivent passer par le centre O de la sphère, envelopperaient un cône, et la géodésique, qui est l'arête de rebroussement de cette enveloppe, se réduirait au point O, résultat absurde.

•io2. Développée d'une surface. — On a désigné (n**370) sous le nom de développée d^une surface, S, la surface focale de la congruence des droites normales à S; chaque normale touche la développée 2 en deux points qui sont les points focaux et qui coïncident (n** 423) avec les centres de courbure principaux de S pour le pied M de la normale; les deux plans focaux c'està-dire les plans tangents delà développée aux deux points focaux, sont les plans principaux de S au point M (ibid.), La développée S

46o TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

peut donc être définie aussi comme le lieu des centres de courbure principaux ou l'enveloppe des plans principaux de S.

Les normales menées à S le long d'une ligne de courbure forment (n® 431) une surface développable (A); elles louchent donc une courbe (y), arête de rebroussement de (A). Le point de contact avec (y) d'une des normales considérées est (n" 386) le point de concours limite de cette normale et de la tangente voisine menée à (y), tangente qui est aussi une normale de S; c'est donc (n® 369) un des points focaux de la normale proposée, et il est d(>s lors sur S, c'est-à-dire que la courbe (y) est sur la développée.

En considérant ainsi les deux systèmes de lignes de courbure de S, on obtient, sur la développée S, deux systèmes, simplement infinis chacun, de courbes (y), que nous désignerons respectivement par (yi) et (y2); toute tangente à l'une de ces courbes est une normale de S ; réciproquement, toute normale v de S touche une courbe (yi) et une courbe (y2), les points de contact d ei C2 étant les deux centres de courbure principaux de S pour le pied de la normale.

Cela posé, observons que les plans focaux relatifs à la normale V sont (n** 369) ceux qui passent par v et par chacune des deux normales voisines, rencontrant v au second ordre près : ce sont donc les plans passant par v et par chacune des deux tangentes, voisines de v, menées aux courbes (y«) et (y2) que touche v, puisque ces deux tangentes sont des normales de S et coupent v au second ordre près (n" 386). En d'autres termes, les deux plans focaux relatifs à v sont les plans osculateurs en Ci et C2 aux courbes (y,) et (yg) considérées, et de telle sorte (n" 369) que le plan osculateur àï(yi) au point d touche la surface focale S en C2, et que le plan osculateur à (y2) en C2 louche S en d.

Or, les deux plans focaux étant rectangulaires, puisque ce sont les plans principaux de S pour le pied de la normale v, il résulte de là que le plan osculateur à la courbe (y^) au point C| est perpendiculaire au plan qui touche S au même point; en d'autres termes :

Les lignes (y^) et (^2) sont des géodésiques de la déi'eloppée S.