CHAPITRE V. — COURBURE DES SURFACES

4o3. Applications. — Ces considérations, et les résultats antérieurs, permettent de traiter quelques questions intéressantes.

1** Une surface S, prise au hasard, n!est pas, à elle seule, la développée d^une surface; tandis que le théorème analogue est vrai pour les courbes.

Car les normales à la surface cherchée seraient des droites touchant S en deux points, c'est-à-dire des hitangentes de 2. Or, les bilangentes de S forment une ou plusieurs congruences distinctes, puisqu'elles sont évidemment en nombre doublement infini; pour qu'une de ces congruences soit une congruence de normales, il faut et il suffit (n" 370) que les deux plans focaux relatifs à chaque bitangente de la congruence soient rectangulaires. Sous une autre forme, si a et b sont les points de contact d'une des bitangcntes et de S, les plans tangents à I en a et 6 doivent être à angle droit; cette condition n'est évidemment pas réalisée pour une surface S prise au hasard, ce qui établit la proposition.

2*^ Une surface ï, prise au hasard, peut être combinée avec une autre surface S' convenablement choisie, de manière que r ensemble des deux surfaces S et V soit la développée d^une surface.

Prenons, en effet, sur ]S, une série simplement infinie quelconque de lignes géodésiques, et considérons l'ensemble de leurs tangentes; ces tangcnlcs, en nombre doublement infini, forment une congruence de droites, et je dis que c'est une congruence de normales, c'est-à-dire (n° 370) que les deux plans focaux relatifs à chacune d'elles sont rectangulaires.

Soil, en effet, d un point d'une des géodésiques (yi); désignons par V la tangente à (yi) en ce point; un des deux plans focaux relatifs à v est évidemment le plan tangent à S en C|, car la surface 2, touchée par toutes les droites v, est une partie de leur surface focale. L'autre plan focal, en vertu d'un raisonnement fait au numéro précédent, est le plan osculateur à la courbe (vi) au point C\ : les deux plans focaux sont bien rectangulaires, puisque le plan osculateur en C| à la géodésique (yi) est normal en ce même point à la surface 2.

Les tangentes aux géodésiques considérées forment donc bien

46a TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

une coDgriience de normales; leur surface focale se compose de la surface S el d*une autre surface S', ce qui démontre le théorème.

Exemple, — Prenons pour S une sphère de centre O; une série simplement infinie quelconque de grands cercles géodesiques sera découpée sur S parles plans qui enveloppent un cône quelconque S', de sommet O. Les tangentes à ces grands cercles touchent toutes le cône S', qui, dès lors, forme, avec S, la surface focale de leur congruence. Donc l'ensemble d'une sphère et d'un cône concentriques constitue la développée d'une surface, dont les normales sont les tangentes aux grands cercles déterminés dans la sphère par les plans qui touchent le cône.