I. - SURFACES APPLICABLES L'UNE SUR L'AUTRE

455. Soient 2 et S| deux surfaces, définies respectivement par les équations paramétriques

(S,) xr=xi{u\i^'), y=-yx{u\v'), z = z^{u\v').

Établir entre leurs points une correspondance, c'est faire correspondre à un système de valeurs de w, ç un système de valeurs de w', /; c'est donc poser

/qI g étant des fonctions quelconques.

Cela posé, sur la surface (S), le carré de l'élément d'arc a pour expression (n® 4i2) :

(a) ds^=E(u, p)û?a'-i-2F(M, v) dudv -{'G(u, p)rfp*,

et sur (S|) :

(3) ds\ = Ei(u', i>')du'^-h2Fi(u\ v') du' dv'-h Gx(u', v') dv'K

Pour que les deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre, il est nécessaire que les arcs infiniment petits correspondants soient égaux; or, le carré de l'élément rf^i, qui correspond sur S| à l'élément ds pris sur S, s'obtient en remplaçant, dans (3), w' et ç' par leurs valeurs (i) en fonction de u et ç^ ce qui donne

ou, en ordonnant par rapport à du et rfv^,

ds\ = C du^ -h 2 J du dv -^Q dv^ ;

étant posé, pour simplifier,

c=E,/,,)(|y-..P,/,.)||.G.(A.)(gy.

Pour que ds'\ =:ds^^ quelle que soit la position de l'arc ds, il faut que l'on ait

E{u, i^)du^-\-iF(Uf i>)dudi> -hG(u, i>)dif^= Cdu^-^ 2^ du dv -^Ç dv^, quels que soient du, dv, u, v) c'est-à-dire qu'on doit avoir iden-