CHAPITRE VI. — REPRÉSENTATION DES SURFACES

tiquement (quels que soient u et v)^

Ces conditions, nécessaires pour que S| soit applicable sur 2, sont suffisantes : car, si elles sont remplies, les arcs infiniment petits correspondants de deux courbes correspondantes sont égaux, et il en est de même des arcs finis, puisque la relation ds\ = ds entraîne évidemment s^ = 5, les deux arcs correspondants 5{ et 5 étant nuls en même temps.

Donc enfin, pour reconnaître si S| est applicable sur S, il faut voir si Ton peut déterminer les deux fonctions inconnues

/(m, v) et g{u, v),

qui définissent la correspondance, de manière que les relations (5) soient satisfaites. Or E, F, G sont des fonctions connues de u el v\ Cy ê^ Q sont, d'après (4)? des fonctions de forme connue de /, g et de leurs dérivées partielles du premier ordre en ;/, v : les relations (5) sont donc ^ro/5 équations différentielles, aux dérivées partielles, par rapport aux deux fonctions cherchées y et g. On a donc une équation de plus qu'il n'y a d'inconnues, c'està-dire que le problème est généralement impossible, ou que deux surfaces prises au hasard ne sont pas applicables Tune sur Tautre.

Remarque, — Si S et S| sont applicables l'une sur l'aulrc, on aura, d'après cela, pour les définir paramétriquement,

Au point (w, r) de S correspondra, sur 2|, le point de mêmes arguments u et s^, et celte correspondance sera telle qu'on ail :

ds^ = E(a, v)du'^-^ 2F(w, ç) du dv H- G(e/, i>)dv^, ds} = E(a, v)du^-h 2F(a, v)dudv h- G(a, p)rfp«,

c'est-à-dire

ds'^ ^ ds\

identiquement.

Réciproquement, si rf5^^ rf5j, les deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, de telle sorte qu'au point (m, v) sur S corresponde le point de mêmes arguments (w, v) surS^.

4o6. Si S est applicable sur S|, les arcs correspondants sont égaux; il «n résulte que les angles sont aussi conservés, c'està-dire que l'angle de deux courbes de S est égal à celui des courbes correspondantes de S|. Car, soient M et M, {fig. 107) les sommets des deux angles; prenons sur chaque côté de Tangle M deux points, N et P, infiniment voisins de M, et joignons-les par un arc quelconque NP. Soient N| et P| les points correspondants sur S|

et N| P| l'arc correspondant à NP. Les deux triangles MNP, M|N|P,, qui sont rectilignes à la limite, ont leurs côtés égaux chacun à chacun, puisque ces côtés sont des arcs correspondants de S et de S4 ; leurs angles sont donc aussi égaux, c. q. f. d.

Exemples de surfaces applicables l'une sur Vautre,

457. Théorème de Bout. — Tout hélicoide est applicable sur une surface de révolution.

Soit rhélicoïde S, :

(Si) a7 = rcosu), ^ = rsinu), z =f(r) -\- atû.

On a

Cherchons s'il existe une surface de révolution S (n** 416) : (2) a7 = wcosO, ^=wsinO, G = g(M),

sur laquelle rhélicoïde soit applicable. On a, sur cette surface,

û?5« = M»û?0> H- [i -h cp'* ( w)] rfa».

Ecrivons rfsj, en complétant le carré formé par les deux