CHAPITRE VI. — REPRÉSENTATION DES SURFACES

derniers termes :

Établissons maintenant, entre les deux surfaces S et S,, la correspondance définie par les équations

d'où l'on tire

u du

r = /m' — a*, dr =

On peut écrire, en remplaçant r et dr par ces valeurs,

<i5f = M«rfe«-hrfa«

= a«rfO*-h<iw* ^^ -^ — ^ ,

et l'on aura identiquement ds^^ ^ rf5^, si l'on peut choisir la fonction inconnue, f (w), de manière à vérifier la relation

i-4-o'«(a) = ou

Il suffit, pour cela, de prendre

Le théorème est donc établi; la surface de révolution est engendrée par la rotation, autour de Os, de la courbe z = (f{x) du plan des zx,

4o8. Cas particuliers. — i° Sur/ace de vis à filet carré. — On a, pour cet hélicoïde, /(r) = o. Il est donc applicable sur la surface de révolution autour de 0>z qui a pour méridienne, dans le plan zOx, la courbe z = <f{^), la fonction ff{x) étant définie

par (7):

Celte courbe est ainsi

z = alog(r-i- /a-» — a») 4- c';

c'est une chaînette qui a pour base Oz (n° 449). Donc :

La sur/ace de vis à filet carré est applicable sur une surface de révolution, engendrée par une chaînette tournant autour de sa base.

Si Ton écrit les équations paramétriques des deux surfaces :

(Sj) a7 = rcost»>, ^=rsinti), .s = ao),

(2) ar = wcosG, ^=MsinO, z =a Iog(a h- /m* — a«),

les relations de correspondance (6) montrent qu'au point (<o, r) de l'hélicoïde correspond le point (8, u) de la surface de révolution défini par

Donc les génératrices rectilignes (to = const.) de l'hélicoïde s'appliquent sur les méridiens (8 = const.) de la surface de révolution, et les hélices (r = const.) de Thélicoïde s'appliquent sur les parallèles (w = const.).

2® Surface de vis à filet triangulaire. — La courbe génératrice de cet hélicoïde, dans le plan zOx^ est une droite qu'on peut supposer passer par l'origine sans diminuer la généralité,

jmt -^— /» OC •

K\oT% f{x)-=\x^f'{x)'=\ et Ton trouve, par (7),

a:*-t-as(i — X»)

On est ramené à une intégrale elliptique. Dans le cas particulier de X = I, c'est-à-dire si les génératrices rectilignes de l'hélicoïde font un angle de 45** avec l'axe, on a