CHAPITRE VI. — REPRÉSENTATION DES SURFACES

La méridienne de la surface de révolution sur laquelle riiélicoïde

est applicable est donc z = \Jx'^ — a^, c'est-à-dire x'^ — 5^ = a^, hyperbole équilatère dont Oz est l'axe non transverse. Ainsi :

La surface de vis à filet triangulaire, dont les génératrices sont à 45** sur Caxe, est applicable sur un hyperboloïde de révolution à une nappe dont la méridienne est équilatère.

Théorème de Gauss.

4o9. Énoncé. — Gauss a démontré le théorème suivant :

Si deux surfaces sont applicables Vune sur Vautre, le produit des rayons de courbure principaux en deux points correspondants est le même pour les deux surfaces.

Pour établir cette proposition, Gauss (Disq. circa superf curvas, XI), par un calcul assez long qui ne sera pas reproduit ici, établit l'identité suivante où les notations habituelles sont conservées :

.i(EG- F2)(RT — S^) eT^— — •— — — )

\os^ ô\? Ou th' Ou J

^f dO ÙK ôV 0\i Jiï*

\ Ou Ou dr Ou Os>

^f/"— — à¥. ÙO ôJ^OV 0{^0¥ ,^^\ \ Ou Ov (>p Ou Oi> Ov Ou Ou * Ou Ov /

\0v^ OuOv Ou^ J

La vérification de cette identité n'offre aucune autre difficulté que la longueur des calculs : il faudrait remplacer E, F, G, R, S, T par leurs expressions connues (n°* 409 et 412) en fonction

X àx Ov Oz Ox O^x ., . ^ I ^

Je — , £., — , —, . . ., — — , . . ., et 1 on verrait que tous les termes Ou Ou Ou Osf Ou^ ^

disparaissent.

Le produit des rayons de courbure principaux, pi et p2, en un

point de la surface

X^Xi^U.V), y=fiUyV), Z=:Z(U,V),

est égal, d'après réqualion (9) du n° 427, qui donne ces rayons

de courbure, à