EG — F

PiP«= RT-S«*

Or, en verlu de Tidentité de Gauss, RT — S^ ne dépend que de E, F, G cl de leurs dérivées partielles premières et secondes par rapport à w et ç»; on a donc

PiPt = fonction rationnelle de f E, F, G, — > -j^^^ • • •» -j^ )'

En d'autres termes, si E, F, G sont les mêmes fonctions de u et {> pour deux surfaces S et S| , le produit pi p2, au point m, v de la surface S, sera le même que le produit pi 02 au point f/, ^ de la surface S^. Or, quand deux surfaces sont applicables Tune sur l'autre, nous avons vu (n"" 4o5, Remarque) qu'on peut les représenter paramétriquement :

(St) x = X(m, p), ...,

de telle sorte que E, F et G soient les mêmes fonctions de «, s^ pour les deux surfaces : le théorème de Gauss est donc établi (*).

Surfaces applicables sur le plan.

Le problème de déterminer toutes les surfaces applicables sur une surface donnée n'a encore reçu aucune solution générale : on ne sait le traiter que dans des cas particuliers, par exemple si l'une des surfaces est un plan.

On va établir que :

460. Théorème. — Les surfaces applicables sur le plan sont les surfaces développables.

(') On [donne souvent à l'inverse du produit pjp,, des rayons de courbure en un point, le nom de courbure totale de la surface en ce point. De mùme, on appelle courbure moyenne de la surface au point considéré la

somme - ( 1 — )• Les surfaces dont la courbure totale ou la courbure movenne

est constante ont donné lieu à de nombreuses recherches.