CHAPITRE VI. — REPRÉSENTATION DES SURFACES

En effet, pour un plan, les deux rayons de courbure principaux en chaque point sont infînis; leur produit est donc infini. Par suite, d'après le théorème de Gauss, une surface applicable sur le plan aura, en chaque point, un rayon de courbure principal infini.

Si cette surface est z =/(^,^), Téquation aux rayons de courbure principaux^ p, est (n° 428) :

pq-

yJ'^

et pour quen chaque point un de ces rayons soit infini, il faut et il suffit qu'on ait, quels que soient x ety^

rt — s-= o.

Je dis que cette relation montre que la surface est développable.

On peut l'écrire, en effet,

dp dp

Ox ày ùy ùx '

ùx Oy

ùq ôq Ox ày

c'est-à-dire que le jacobien de p et y, par rapport aux deux variables X ely^ est nul; et, par suite,/? cl q sont liés (n" 31) par

une relation,

Le plan langent à la surface z=/{Xjy), au point .r, y, z, a pour équation

Z-^z=p{\--x)---q{\-y), ou

Z=p\-T-q\ -1- (z—px — qy)y

et Ton aura démontré que la surface est l'enveloppe d'un plan mobile dépendant d'un ^ew/ paramètre (c'est-à-dire est une dévcloppable), si l'on prouve que les coefficients du plan tangent, Pi 7? ^ — P^ — ^y sont fonctions de l'un d'eux, p. Or, on a déjà q = F(/>); tout revient donc à établir que z — px — q y est fonc-

lion de/?, c'esl-à-dire que le jacobien

ôx

est égal à zéro.

En tenant compte de y = F(/>), on a

d'où résulte ipimédiatement que le jacobien ci-dessus est nuJ. Ainsi : Toute surface applicable sur le plan est développable.

461. Réciproquement, toute développable est applicable sur le plan. En efTet, considérons la développable lieu des tangentes à une courbe gauche C; nous pouvons supposer que les coordonnées x^ y^ z d'un point M de C sont données en fonction de Tare OM = <t, de cette courbe, compté à partir d'un point O quelconque. On a alors, d'après le n^ 401, et en désignant par k la courbure en M,

Xy . . ., ^", . . ., étant les dérivées de x^ y^ z par rapport à <t.

Fig. io8.

Cela posé, soit P(X, Y, Z) {Jig\ io8)le point situé sur la tan-