CHAPITRE VI. — REPRÉSENTATION DE^ SURFACES

gcntc en M, à la distance r de ce point; on a

x' y z' yjx'i^yi^z'^

d*où, en tenant compte de (i),

( X — ar -^ pj?',

\ 'L — Z -\- vz\

Ces trois équations définissent un point quelconque X, Y, Z de la développable lieu des tangentes à la courbe C, en fonction des deux paramètres o* et v\ formons, sur cette surface, Télément ch'^.

f/A-2^- t/Xî-f- (Ti^ -r- dL^ =-\{x' -\- vx") d<i -+- x'dv\^-\-,. . ,

et, en tenant compte de (i), (2), (3),

■('5) ds^-=^ di^{i -{- v^ k' ) -^ T.d's dv -\- dv^\

la courbure k est d'ailleurs une fonction connue de <t, A* = ?(<'')? puisque la courbe C est donnée.

Cette expression de ds- est indépendante de la torsion de* la . courbe : si donc on considère une autre courbe, pour laquelle on ' ait aussi X:r=o(T), et dont la torsion varie d'une manière gr^e/conque avec Tare, le rf,ç'-, sur la développable formée par les tangenlesà cette courbe, aura également l'expression (5); c'esl-à-dire que les deux développables seront applicables l'une sur l'autre, le point (o-, r) de l'une correspondant au point (<t, s?) de l'autre (n® 4oo, Remarque). Or, il y a une courbe plane pour laquelle A* =: '>5(3-) (n" 377) ; et comme la développable formée par ses tangentes n'est aulre que son plan même, il en résulte bien que toute développable est applicable sur le plan.

462. Remarque. — Soit (C) la courbe plane pour laquelle A = f (a*); désignons par O^ {Jig* 109) le point origine des arcs sur cette courbe. Le point P, qui, dans le développement sur le plan, correspond au point P(3-, i') de la surface développable, aura aussi pour paramètres 7 et r, comme on l'a observé plus H. 3o.

474 TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GÊO&léTRiQVES.

haut. En d'autres termes, pour obtenir P,, on prendra sur (C) Tare 0« Ml égal à a-, c'est-à-dire à l'arc OM, et sur la tangente en M| on portera la longueur M| P^ égale à ç^ c'csl-à-dire à MP. En particulier, les génératrices rectîlignes de la développable

(T = const.) s'appliqueront sur les tangentes de la courbe (C); l'aréle de rebroussement de C(i^ = o) s'appliquera sur (C).