CHAPITRE VI. — REPRÉSENTATION DES SURFACES

et pour le carré ds], de rélcmenl correspondant sur ]12| (n** ioo),

ds} = C du^ -h 1 rf dudif-^Ç dv^y

C^ J, Ci étant des fonctions de forme connue de /, /,*■, -;-> -7-?

~-9 -p» et dont l'expression a été écrite au n** 4oo.

Si la représentation est conforme, c'est-à-dire si elle conserve les angles, deux triangles infiniment petits quelconques correspondants, Tun sur 2, l'autre sur Si, sont semblables, de sorte

qu'on a {/Ig* 1 10)

M\ MP MiNt ■"" MiPi'

Laissons fixes les points M et M|, ainsi que les points P et P| ; cette relation montre que le rapport - . ■ ■ de deux arcs correspondants quelconques, partant l'un de M, l'autre de M|, est fixe, c'est-

à-dire indépendant de la direction de MN; en d'autres termes, u et r étant donnés (c'est-à-dire M et M| étant donnés), le rapport

ds\ __ C du^ -f- 2 -T du dv — (j* dv^ Tû^ ~ E du^-h'iFdu dv-T-G dv^

est indépendant du rapport ,-> ce qui exige évidemment qu'on ait, quels que soient u et r,

Réciproquement, si les relations (îî) sont satisfaites, quels que soient w, c, la représentation (i) conserve les angles. En effet, les relations (?.) expriment que le rapport de deux arcs infiniment petits correspondants, partant l'un d'un point M, l'autre du point correspondant M,, est indépendant de la direction du premier

arc autour du point M; ou a donc, autour de M,

MN MP M, IN, ~ M|Pi'

de même, autour de N,

NM NP N,Mi - N,P/

ce qui prouve que les deux triangles MNP et MiN^Pi sont semblables : leurs angles sont donc égaux. c. q. f. d.

On a donc finalement les deux relations (2) entre les deux fonctions inconnues y et g (et leurs dérivées), ce qui permettra de déterminer ces fonctions; le problème est donc possible, c'eslà-dire qu'on peut toujours faire la représentation conforme d'une surface sur une autre.

161. Cartes géographiques. — Supposons que la surface I]| soit un plan, et soient u^ et v' les coordonnées cartésiennes rectangulaires du point de ce plan qui correspond au point w, t' de ï; u' ^ r' sont des fonctions inconnues de w, v qu'il s'agit de déterminer. On a

ds\ = dii'^->ndv'^,

et la représenialion conservera les angles si le rapport ds^ : A-^, ou

E du^ -+- 9. F du dv -h G dv^

du'^-^dv'^

est une fonction de u et r, indépendante du rapport^» Soit ).(«, (^) la valeur de ce rapport; il vient

(3) K diC^-^ iVdu dv -\-Gdv^= l{du'^-{- d\?'^).

Voici comment on peut trouver une solution particulière du problème, c'est-à-dire déterminer des fonctions u\ i^', X, de u et r, vérifiant identiquement cette relation.

Décomposons le trinôme E du^ -^ '2F du di^ -{- G di^^ en deux facteurs, qui sont nécessairement imaginaires conjugués, car le trinôme, qui représente un élément d'arc, ne peut s'annuler pour