CHAPITRE VI. — REPRÉSENTATION DES SURFACES
aucune valeur réelle de ~j- :
cw
(4) Eû?z**-+-. . , = {aLdu->r ^dv){aidu ■+- ^idv);
a et ^ sont des fonctions de w, i^, et ai, ^i sont imaginaires conjugués de a, ^. Or on démontrera, dans le Cours de seconde année, qu'étant donnée une expression
a(u, v)du -^ ^( Uf v)dv,
on peut toujours trouver un facteur, ^{u^ v)^ tel que le produit
li{(x.du -^ ^di>)
soit la différentielle exacte d'une fonction «p(//, i^). On a ainsi
(5) ii{:idu-h ^d\>) ^ d^f et de même ji.i(aic/a -+• Pi^/p) = ^fi,
[Xi et cp, étant imaginaires conjugués de [jl et '^. L'équaiion (3), si l'on tient compte de (4) et (5), s'écrit alors
<y<p d^i = fijji| X ( du'^ -h dv'^ ),
et l'on y satisfera identiquement en posant :
du' -h idv' = rfçp,
du' — i dv' = <i© I , d'où
et
On a ainsi une détermination /?a/7/c«///ère,
des fonctions inconnues u' et v' ^ c'est-à-dire une représentation conforme, ou carte géographique, de la surface sur le plan; au point (//, (')de la surface correspond, sur le plan, le point dont les coordonnées rectangulaires sont les valeurs (6) de w' et t^'.
46o. Il y a une infinité de manières de représenter ainsi une surface sur un plan.
Soient, en effet, une première carte où le point M de la surface ait pour correspondant le point m du plan, et une seconde carte où il ait pour correspondant le point m^ ; l'angle de deux courbes partant de M sur la surface est égal à celui des couples de courbes correspondantes partant respectivement de m et m^ sur le plan; il en résulte que la transformation plane, qui fait correspondre le point nii au point m, conserve les angles. En d'autres termes, étant donnée une carte particulière de la surface sur le plan, et Ton sait en trouver une d'après le numéro précédent, on obtiendra toutes les autres cartes en faisant subira la première toutes les transformations planes possibles qui n'altèrent pas les angles.
466. Transformations isogonales du plan. — Le problème revient donc à déterminer toutes les transformations conformes du plan en lui-même.
Soient X et Y les coordonnées du point qui, dans une de ces transformations, correspond au pointer, j^,
Pour que les angles soient conservés, il faut et il suffit (n'*-463) que le rapport
(dv . i)V . y foq. OQ . \»
Uj-^ -f- dy^ dx"^ -\- dy^
soit indépendant de J-* ce qui donne les conditions
ôx Oy Ox dy
On |)cut écrire
le dernier membre est é^al à zb i , d'après ("); on a donc, s repré-
